자연계열 4번

$\displaystyle \tan\theta_n=\frac n{\frac1{n^k}}=n^{k+1}$ 이므로 탄젠트함수의 덧셈정리와 이항정리에 의해 다음 식을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned}\tan(\theta_{n+1}-\theta_n)&=\frac{\tan\theta_{n+1}-\tan\theta_n}{1+\tan\theta_{n+1}\tan\theta_n}=\frac{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}{1+(n+1)^{k+1}n^{k+1}}\\&=\frac{({}_{k+1}\mathrm C_0n^{k+1}+{}_{k+1}\mathrm C_1n^k+\cdots+{}_{k+1}\mathrm C_{k+1})-n^{k+1}}{1+(n+1)^{k+1}n^{k+1}}\\&=\frac{{}_{k+1}\mathrm C_1n^k+\cdots+{}_{k+1}\mathrm C_{k+1}}{1+(n+1)^{k+1}n^{k+1}}\end{aligned}$주어진 식에 이를 대입하면$\displaystyle an^b\tan(\theta_{n+1}-\theta_n)=\frac{a({}_{k+1}\mathrm C_1n^{k+b}+\cdots+{}_{k+1}\mathrm C_{k+1}n^b)}{1+(n+1)^{k+1}n^{k+1}}$이다. 위 식의 우변에서 분자와 분모의 최고차항이 각각 $\displaystyle a(k+1)n^{k+b}$와 $\displaystyle n^{2k+2}$이므로, 극한값 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\{an^b\tan(\theta_{n+1}-\theta_n)\}$이 0이 아닌 상수일 조건은 $\displaystyle a\ne0$, $\displaystyle k+b=2k+2$이고, 이때의 극한값은 $\displaystyle a(k+1)=1$이다. 따라서 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$를 $\displaystyle k$에 대한 식으로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle a=\frac1{k+1},\quad b=k+2$