자연계열 4번

펌프를 통해 1시간동안 급수 또는 배수되는 물의 양 (급수 또는 배수량)은 급수 또는 배수량의 순간변화율을 시간에 따라 정적분한 값과 같다.1번 펌프의 1시간 동안의 급수량: $\displaystyle \int_0^1(8t+1)\,dt=\Biggl[4t^2+t\Biggr]_0^1=5$ (liter)2번 펌프의 1시간 동안의 급수량: $\displaystyle \int_0^1(4t+2)\,dt=\Biggl[2t^2+2t\Biggr]_0^1=4$ (liter)3번 펌프의 1시간 동안의 급수량: $\displaystyle \int_0^1(6t+4)\,dt=\Biggl[3t^2+4t\Biggr]_0^1=7$ (liter)세 개의 펌프 중 두 개를 골라서 급수관과 배수관에 하나씩 연결하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3}\mathrm P_2=6$가지이다. 펌프를 연결할 수 있는 모든 경우의 수에 대해 1시간 후 남아있는 물의 양을 계산하면 아래와 같다.

$\displaystyle t=1$에서 물탱크에 저장된 물의 양이 5리터가 넘거나 0리터 이하가 되지 않는 조합은 급수 1번 펌프 - 배수 2번 펌프, 급수 3번 펌프 - 배수 1번 펌프, 급수 3번 펌프 - 배수 2번 펌프의 세 가지 경우이다.$\displaystyle t=0$에서 $\displaystyle t=1$까지 1시간(hour) 동안 펌프를 작동시키는 중간에 급수량에 비해 배수량이 많아져 물탱크의 물이 바닥나는 경우도 고려해야 한다.급수 1번 펌프 - 배수 2번 펌프의 시간 $\displaystyle t$에서의 저장된 물의 양은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\text{물의 양}&=\int_0^t(8t+1)\,dt-\int_0^t(4t+2)\,dt+\frac1{10}\\&=\int_0^t(4t-1)\,dt+\frac1{10}\\&=2t^2-t+\frac1{10}\\&=2\left(t-\frac14\right)^2-\frac1{40}\end{aligned}$급수펌프로 1번 펌프를, 배수 펌프로 2번 펌프를 설치하면, 시간 $\displaystyle t$에서의 저장된 물의 양이 $\displaystyle t=\frac14$에서 $\displaystyle -\frac1{40}$로 음수가 되어 물탱크의 물이 중간에 바닥나게 된다.급수 3번 펌프 - 배수 1번 펌프의 시간 $\displaystyle t$에서의 저장된 물의 양은 다음과 같다$\displaystyle \begin{aligned}\text{물의 양}&=\int_0^t(6t+4)\,dt-\int_0^t(8t+1)\,dt+\frac1{10}\\&=\int_0^t(-2t+3)\,dt+\frac1{10}\\&=-t^2+3t+\frac1{10}\end{aligned}$$\displaystyle -t^2+3t+\frac1{10}$는 $\displaystyle 0\le t\le1$에서 0과 5의 범위 내에 있으므로 급수 펌프로 3번 펌프를, 배수 펌프로 1번 펌프를 설치하면 물탱크의 물이 넘치거나 바닥나지 않는다.급수 3번 펌프 - 배수 2번 펌프의 시간 $\displaystyle t$에서의 저장된 물의 양은 다음과 같다$\displaystyle \begin{aligned}\text{물의 양}&=\int_0^t(6t+4)\,dt-\int_0^t(4t+2)\,dt+\frac1{10}\\&=\int_0^t(2t+2)\,dt+\frac1{10}\\&=t^2+2t+\frac1{10}\end{aligned}$$\displaystyle t^2+2t+\frac1{10}$는 $\displaystyle 0\le t\le1$에서 0과 5의 범위 내에 있으므로 급수 펌프로 3번 펌프를, 배수 펌프로 2번 펌프를 설치하면 물탱크의 물이 넘치거나 바닥나지 않는다.따라서 물탱크의 물이 넘치거나 바닥나지 않도록 하는 경우는 다음의 두 가지이다.(1) 3번 펌프를 급수관에 연결하고, 1번 펌프를 배수관에 연결(2) 3번 펌프를 급수관에 연결하고, 2번 펌프를 배수관에 연결