경상계열 2번

[문항 1]$\displaystyle n$년 후 이자 총액이 원금의 60%인 600만 원 이상인 상황을 원리합계 기준의 식으로 표현하면$\displaystyle 1,000$만원$\displaystyle \times(1+0.08\times n)\ge1,600$만 원$\displaystyle n\ge7.5$이므로, <g0>$\displaystyle n=8$이다.</g0> 상품 1 가입 8년 후 시점의 원리합계를 구하면$\displaystyle 1,000$만 원$\displaystyle \times(1+0.08\times8)=1,640$만 원이므로, <g1>8년 후 시점의 이자 총액(=원리합계-원금)은 $\displaystyle 1,640$만 원$\displaystyle -1,000$만 원$\displaystyle =640$만 원이 된다.</g1>∴ 답: $\displaystyle n=8$, 이자 총액 $\displaystyle =640$만 원

[문항 2]$\displaystyle n$년 후 이자 총액이 원금의 60%인 600만 원 이상인 상황을 원리합계 기준의 식으로 표현하면<g2>$\displaystyle 1,000$만 원$\displaystyle \times(1.05)^n\ge1,600$만 원</g2>이고, 양 변에 상용로그를 취하여 이 식을 정리하면$\displaystyle n\ge\frac{\log(1.6)}{\log(1.05)}$이 된다. 이 때 <표 2>를 이용하면Correction. 문항 2·3의 해설과 예시답안에서 상용로그 값을 읽을 때 가리키는 “표 2”는 “표 4”의 오기이다. 문제에 제시된 상용로그 표의 번호는 4이며, 답안에 사용된 로그값도 이 표와 일치한다. 원문 표기는 그대로 실었다.$\displaystyle \log(1.6)=\log\left(\frac{16}{10}\right)=4\log2-1=0.2040$$\displaystyle \log(1.05)=\log\left(\frac{21}{20}\right)=\log3+\log7-\log2-1=0.0212$가 되므로,$\displaystyle n\ge\frac{0.2040}{0.0212}=9.6226\cdots$가 된다. 따라서 <g3>$\displaystyle n=10$이다.</g3>상품 2 가입 10년 후 시점의 원리합계는 $\displaystyle 1,000$만 원$\displaystyle \times(1.05)^{10}$이다. 이를 계산하기 위해 $\displaystyle x=(1.05)^{10}$로 놓으면$\displaystyle \log x=\log(1.05)^{10}=10\log(1.05)=10\times0.0212=0.2120$이므로, <표 2>에 의해 $\displaystyle x=1.63$이 된다. 따라서 원리합계는 $\displaystyle 1,000$만 원$\displaystyle \times1.63=1,630$만 원이고, 이때의 <g4>이자 총액(=원리합계-원금)은 $\displaystyle 1,630$만 원$\displaystyle -1,000$만 원$\displaystyle =630$만 원이 된다.</g4>∴ 답: $\displaystyle n=10$, 이자 총액 $\displaystyle =630$만 원

[문항 3](방법 1)의 각 상품의 만기 시점 원리합계를 계산하면상품 1(예금)의 원리합계$\displaystyle =1,000$만 원$\displaystyle \times(1+0.08\times20)=2,600$만 원상품 2(대출)의 원리합계$\displaystyle =1,000$만 원$\displaystyle \times(1.05)^{20}$이다. 상품 2의 만기 원리합계를 계산하기 위해 $\displaystyle x=(1.05)^{20}$로 놓으면$\displaystyle \log x=\log(1.05)^{20}=20\log(1.05)=20\times0.0212=0.4240$이므로, <표 2>에 의해 $\displaystyle x=2.65$이 되고 원리합계는 $\displaystyle 1,000$만 원$\displaystyle \times2.65=2,650$만 원이다. 따라서 <g5>(방법 1)의 만기 시점 순 이익은 $\displaystyle 2,600$만 원$\displaystyle -2,650$만 원$\displaystyle =-50$만 원이다.</g5>

방법 2, 3의 수익성을 알아보기 위해 각 방법의 순 이익을 계산해보자.

(방법 2)의 각 상품의 만기 시점 원리합계를 계산하면상품 1(예금)의 원리합계$\displaystyle =1,000$만 원$\displaystyle \times(1+0.08\times10)=1,000$만 원$\displaystyle \times(1+0.8)=1,800$만 원상품 2(대출)의 원리합계$\displaystyle =1,000$만 원$\displaystyle \times(1.05)^{10}=1,630$만 원 (※[문항 2]의 풀이로부터 $\displaystyle (1.05)^{10}=1.63$)이므로, <g6>(방법 2)의 만기시점 순 이익은 $\displaystyle 1,800$만 원$\displaystyle -1,630$만 원$\displaystyle =170$만 원이다.</g6>

<g7>(방법 3)은 아무것도 하지 않으므로 순 이익은 0이다.</g7>

<g8>주어진 세 가지 방법 중 (방법 2)의 수익성이 가장 크므로, 이 씨가 주장하는 (방법 2)를 선택하는 것이 가장 현명하다.</g8>

∴ 답: 이 씨의 주장인 (방법 2)가 가장 현명한 선택이다. 왜냐하면 (방법 1)의 순 이익은 -50만 원, (방법 2)의 순 이익은 170만원, (방법 3)의 순 이익은 0으로, 세 가지 방법 중 (방법 2)의 수익성이 가장 우수하기 때문이다.