자연계열 1번

직선 $\displaystyle \ell$이 원에 접하는 점은 $\displaystyle \left(-\frac{\sqrt3}2,\frac12\right)$이므로 직선 $\displaystyle \ell$의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle \ell:\ y=\sqrt3x+2$또한 직선 $\displaystyle m$과 원이 접하는 점을 $\displaystyle (-\cos\theta,-\sin\theta)$ $\displaystyle \left(0<\theta<\frac\pi2\right)$라고 하면, 직선 $\displaystyle m$의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle m:\ y=-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}x-\frac1{\sin\theta}$직선 $\displaystyle \ell$과 $\displaystyle y=-1$의 교점을 $\displaystyle \mathrm{H}(-\sqrt3,-1)$이라고 할 때, 문제에서 요구하는 사각형의 넓이는 직선 $\displaystyle \ell$, 직선 $\displaystyle x=1,y=-1$로 이루어지는 삼각형 $\displaystyle A$의 넓이에서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{HEG}$의 넓이를 뺀 것이다. $\displaystyle A$의 넓이는 고정되어 있으므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{HEG}$의 넓이를 최대로 하는 직선 $\displaystyle m$을 구하면 된다.

직선 $\displaystyle m$과 $\displaystyle y=-1$과의 교점은 $\displaystyle \mathrm{G}\left(\frac{\sin\theta-1}{\cos\theta},-1\right)$이다.직선 $\displaystyle m$과 직선 $\displaystyle \ell:\ y=\sqrt3x+2$과의 교점은 $\displaystyle \mathrm{E}\left(\frac{-2\sin\theta-1}{\sqrt3\sin\theta+\cos\theta},\frac{2\cos\theta-\sqrt3}{\sqrt3\sin\theta+\cos\theta}\right)$이므로,삼각형 $\displaystyle \mathrm{HEG}$의 밑변과 높이, 그리고 넓이는 다음과 같다.밑변 = $\displaystyle \frac{\sin\theta-1}{\cos\theta}+\sqrt3$, 높이 = $\displaystyle \frac{2\cos\theta-\sqrt3}{\sqrt3\sin\theta+\cos\theta}+1$넓이 $\displaystyle S=\frac12\left(\frac{\sin\theta-1}{\cos\theta}+\sqrt3\right)\left(\frac{2\cos\theta-\sqrt3}{\sqrt3\sin\theta+\cos\theta}+1\right)=\frac{\sqrt3}2\frac{(\sin\theta+\sqrt3\cos\theta-1)^2}{\cos\theta(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta)}$$\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$삼각형 $\displaystyle \mathrm{HEG}$의 넓이 $\displaystyle S$를 $\displaystyle \theta$에 대하여 미분하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}S^{\prime}(\theta)&=\frac{\sqrt3}{2\cos^2\theta(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta)^2}\\&\quad\times\big[2(\sin\theta+\sqrt3\cos\theta-1)(\cos\theta-\sqrt3\sin\theta)\cos\theta(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta)\\&\quad-(\sin\theta+\sqrt3\cos\theta-1)^2(\cos\theta(\sqrt3\cos\theta-\sin\theta)-\sin\theta(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta))\big]\\&=\frac{\sqrt3(\sin\theta+\sqrt3\cos\theta-1)}{2\cos^2\theta(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta)^2}\\&\quad\times\big[2(\cos\theta-\sqrt3\sin\theta)\cos\theta(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta)\\&\quad-(\sin\theta+\sqrt3\cos\theta-1)(\sqrt3\cos\theta+\sin\theta)(\cos\theta-\sqrt3\sin\theta)\big]\\&=\frac{\sqrt3(\sin\theta+\sqrt3\cos\theta-1)}{2\cos^2\theta(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta)^2}(\cos\theta-\sqrt3\sin\theta)\\&\quad\times\big[2\cos\theta(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta)-(\sin\theta+\sqrt3\cos\theta-1)(\sqrt3\cos\theta+\sin\theta)\big]\\&=\frac{\sqrt3(\sin\theta+\sqrt3\cos\theta-1)^2}{2\cos^2\theta(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta)^2}(\cos\theta-\sqrt3\sin\theta)\\&=\frac{3(\sin\theta+\sqrt3\cos\theta-1)^2}{2\cos\theta(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta)^2}\left(\frac1{\sqrt3}-\tan\theta\right)\end{aligned}$그런데 주어진 구간 $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$에서 $\displaystyle S>0$이므로 $\displaystyle \cos\theta>0$이고 $\displaystyle \sin\theta+\sqrt3\cos\theta-1\ne0$이다. 따라서, 도함숫값의 부호는 오직 $\displaystyle \frac1{\sqrt3}-\tan\theta$에 의해서만 결정된다. 아래의 표와 같이

이므로, $\displaystyle \theta=\frac\pi6$일 때 $\displaystyle S$가 최대(즉, 직선 $\displaystyle m$, 직선 $\displaystyle \ell$, 직선 $\displaystyle y=-1$ 및 직선 $\displaystyle x=1$로 둘러싸인 사각형의 넓이가 최소)가 되고, 그 때의 직선 $\displaystyle m$은$\displaystyle y=-\frac{\cos\frac\pi6}{\sin\frac\pi6}x-\frac1{\sin\frac\pi6}=-\sqrt3x-2$이다.