경상계열 2번

숭실대 2024학년도 모의논술 경상계열 2번 · mathesis.kr/archive/ssu/2024mo/gyeongsang_2

문제 2　제시문 [가], [나], [다], [라]를 참고하여 각 문항에 답하시오. (50점)

[가] 신용이란 채무자가 미래에 부채를 상환할 수 있는 능력을 말한다. 우리가 어떤 개인이 신용이 좋다 또는 나쁘다고 말하는 것은 그 개인의 경제 활동에 대한 평가가 된다. 신용이 좋은 개인은 당장 수중에 돈이 없어도 필요한 돈이나 자원, 재화를 구해 원하는 용도로 사용할 수 있다. 따라서 좋은 신용은 개인의 경제 활동에 있어 매우 중요한 무형 자산이다.

[나] 개인의 신용은 등급이 매겨지고 관리된다. 개인 신용등급이란 정기적인 수입원, 연체 여부, 대출 규모 등과 개인의 정보를 토대로 개인 신용정보 업체가 개인의 신용도를 점수로 환산하여 등급으로 분류한 것이다. 신용등급이 우량할수록 금융 회사에서 돈을 빌릴 때 금리가 낮아지고, 반대로 신용등급이 낮을수록 대출 금리가 높아진다. 신용의 중요성은 개인뿐 아니라 기업이나 국가에도 마찬가지다. 신용이 낮은 기업은 상대방과의 거래에서 현금 외의 다른 수단으로 결제를 하기가 어렵다. 또한 신용이 낮을수록 회사채 발행 금리를 높여야 한다.

[다] 신용등급 전이 행렬이란 현재 신용등급이 $\displaystyle i$ 등급인 기업의 신용등급이 일정 기간(통상 1년)이 지난 후 $\displaystyle j$ 등급일 확률을 원소로 갖는 행렬을 말한다. 예를 들어 <표 1>에서 음영이 없는 부분이 신용등급 전이 행렬인데, 이 행렬의 원소 중 $\displaystyle p_{12}$ 는 $\displaystyle t$ 년도에 신용등급이 1등급인 기업이 1년 후 $\displaystyle (t+1)$ 년도에 2등급이 될 확률을 의미한다. 신용등급 전이 행렬의 마지막 열은 부도 상태를 의미한다.<표 1>

$\displaystyle t$ 년도의 신용등급	$\displaystyle (t+1)$ 년도의 신용등급 1	2	3 (부도)
1	$\displaystyle p_{11}$	$\displaystyle p_{12}$	$\displaystyle p_{13}$
2	$\displaystyle p_{21}$	$\displaystyle p_{22}$	$\displaystyle p_{23}$

[라] 확률은 어떤 사건이 일어날 가능성을 수치화한 것으로 미래를 예측하고 합리적인 의사결정을 하는데 유용한 도구이다. 데이터가 주어질 때 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률 $\displaystyle P(A)$ 는 전체 자료 중 사건 $\displaystyle A$ 에 해당하는 자료의 비율로 구해진다. 조건부 확률이란 사건 $\displaystyle B$ 가 일어났다는 조건 아래에서 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률을 의미하며 기호로는 $\displaystyle P(A\mid B)$ 로 표시된다. 데이터가 주어질 때 $\displaystyle P(A\mid B)$ 는 사건 $\displaystyle B$ 에 해당하는 자료 중 사건 $\displaystyle A$ 에도 동시에 해당하는 자료의 비율로 구해진다.

<주의사항: 아래 문항에 대한 답안은 그래프를 사용하지 말고 수식과 문장으로 작성하시오.>

[문항 1] 어떤 개인 신용분석 전문 회사가 개인 대출 데이터 1천 건을 조사한 결과 신용점수별 정상 및 부실 대출의 분포가 <표 2>와 같다고 한다. 제시문 [가], [나], [라]를 읽고, <표 2>를 바탕으로 풀이 과정에 대한 서술과 함께 물음에 답하시오.<표 2>

신용점수 구간	0~499	500~599	600~699	700~799	800~899	900~1,000
정상 대출 건 수	200	210	178	138	96	49
부실 대출 건 수	50	40	22	12	4	1

(1-1) 아직 개인신용점수를 산출한 적 없는 A씨의 부실 발생 확률은 얼마인가?

(1-2) 개인신용점수가 750점인 B씨의 부실 발생 확률은 얼마인가?

[문항 2] 어떤 기업 신용분석 전문 회사가 최근 20년의 데이터를 조사한 결과 $\displaystyle t$ 년도 1등급과 2등급 기업의 비율은 각각 0.4, 0.6이고, 모든 시점에 적용되는 기업 신용등급 전이 확률이 <표 3>의 신용등급 전이행렬로 일정하게 주어진다고 한다. 제시문 [가], [다], [라]를 읽고, 주어진 정보를 바탕으로 풀이 과정에 대한 서술과 함께 물음에 답하시오.<표 3>

$\displaystyle t$ 년도의 신용등급	$\displaystyle (t+1)$ 년도의 신용등급 1	2	3 (부도)
1	0.8	0.1	0.1
2	$\displaystyle x$	0.6	0.2

(2-1) 현재 2등급인 기업이 1년 후에 1등급으로 신용등급이 개선될 확률( $\displaystyle x$ )은 얼마인가?

(2-2) 현재 1등급인 기업이 2년 이내에 부도가 날(즉, 3등급으로 전이될) 확률은 얼마인가?

(2-3) 올해 부도가 발생한 기업의 1년 전 신용등급이 1등급이었을 확률은 얼마인가?

해설강의 준비중

숭실대 2024학년도 모의논술 경상계열 2번 · mathesis.kr/archive/ssu/2024mo/gyeongsang_2

[문항 1]

(1-1) <g0>A씨에 대한 개인신용점수가 아직 산출된 적 없으므로, A씨의 부실 발생 확률은 제시문 [라]에 의해 전체 자료 1,000건 중 부실 대출 자료의 비율로 구해진다. 그러므로 A씨의 부실 발생 확률은 $\displaystyle \frac{129}{1,000}=0.129$ 가 된다.</g0>

(1-2) <g1>B씨의 부실 발생 확률은 개인신용점수가 750점이라는 조건 아래에서 부실이 발생할 조건부 확률이 된다. 이 확률은 제시문 [라]에 의해 신용점수 구간이 700~799인 대출의 건 수 중 부실 대출 건 수의 비율로 구해진다. 그러므로 B씨의 부실 발생 확률은 $\displaystyle \frac{12}{138+12}=0.08$ 이 된다.</g1>

[문항 2]

(2-1) <g2>확률의 성질에 의해 <표 3>에 주어진 신용등급 전이행렬의 2행의 모든 원소의 합을 구하면 $\displaystyle x+0.6+0.2=1$ 이어야 한다. 그러므로 $\displaystyle x=0.2$ 가 된다.</g2>

(2-2) <g3>현재 1등급인 기업이 2년 이내에 부도가 나는 경우는 ①1차 연도에 부도가 발생하는 경우와 ②1차 연도에 신용등급이 1등급으로 유지되었다가 2차 연도에 부도가 발생하는 경우, ③1차 연도에 신용등급이 2등급으로 하락하였다가 2차 연도에 부도가 발생하는 경우로 구분된다. <표 3>에 주어진 신용등급 전이행렬의 $\displaystyle (i,j)$ 원소를 $\displaystyle p_{ij}$ 라고 할 때, ①의 확률은 $\displaystyle p_{13}=0.1$ , ②의 확률은 $\displaystyle p_{11}\times p_{13}=0.8\times0.1=0.08$ , ③의 확률은 $\displaystyle p_{12}\times p_{23}=0.1\times0.2=0.02$ 이다. 그러므로 구하고자 하는 확률은 $\displaystyle 0.1+0.08+0.02=0.2$ 가 된다.</g3>

(2-3) <g4>1년 전의 신용등급을 $\displaystyle X$ , 올해의 신용등급을 $\displaystyle Y$ 라고 하자. 전체 데이터에서 1등급과 2등급 기업의 비율이 각각 0.4, 0.6로 주어지므로 $\displaystyle P(X=1)=0.4$ , $\displaystyle P(X=2)=0.6$ 이다. 올해 부도가 발생한 기업의 1년 전 신용등급이 1등급일 확률은 조건부확률의 정의에 의해 $\displaystyle P(X=1\mid Y=3)=\frac{P(X=1,\ Y=3)}{P(Y=3)}$ (식 ①)이 된다. 식 ①의 분모는 $\displaystyle P(Y=3)=P(X=1,Y=3)+P(X=2,Y=3)$ 이고, 이를 식 ①에 대입하면 $\displaystyle P(X=1\mid Y=3)=\frac{P(X=1,\ Y=3)}{P(X=1,\ Y=3)+P(X=2,\ Y=3)}$ (식 ②)가 된다. 확률의 곱의 법칙을 적용하여 식 ②의 분자와 분모를 구성하는 각 항을 계산하면, $\displaystyle P(X=1,Y=3)=P(X=1)P(Y=3\mid X=1)=(0.4)(0.1)=0.04$ 와 $\displaystyle P(X=2,Y=3)=P(X=2)P(Y=3\mid X=2)=(0.6)(0.2)=0.12$ 로 구해진다. 그러므로 구하고자 하는 확률은 $\displaystyle P(X=1\mid Y=3)=\frac{0.04}{0.04+0.12}=0.25$ 가 된다.</g4>

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