자연계열 3번

[제시문 2]

(가) 자연계에는 다양한 형태의 규칙성이 존재한다. 이러한 규칙성의 아름다움을 발견한 갈릴레오는 “우주는 수학이라는 언어로 창조되었다”고 이야기하였다. 앵무조개의 나선구조, 해바라기씨앗의 배열 및 솔방울과 파인애플 껍질의 무늬에는 일정한 규칙성이 존재하며 이와 같은 규칙성을 황금비와 피보나치 수열의 관점에서 관찰한 여러 결과들이 제시되었다. 이러한 수학적 규칙성이 주는 아름다움은 인간의 창작물에도 다양한 형태로 반영되었는데 파르테논 신전, 플로렌즈의 돔, 석굴암, 모나리자 등 여러 아름다운 건축물과 미술작품의 비례와 균형, 그리고 우리가 일상적으로 접하는 책이나 신문용지의 가로 세로 비와 여백에 이르기까지 다양한 곳에 활용되고 있다.

이제 황금비에 대하여 정의를 하자. 주어진 선분 $\displaystyle AB$위의 한 점 $\displaystyle C$를 잡고 이 점에 의하여 나누어지는 두 선분 $\displaystyle AC,CB$ 중 $\displaystyle AC$의 길이가 더 길다고 가정하자. $\displaystyle AB:AC=AC:CB$를 만족하게 선분이 분할되었을 때, 이 선분은 점 $\displaystyle C$에 의하여 황금분할 되었다고 한다. 이러한 정의는 유클리드의 원론 제2권의 열한 번째 정리와 관계되는데 이는 ‘길이가 $\displaystyle L$인 선분을 $\displaystyle L\cdot L_2=L_1\cdot L_1$을 만족하는 길이가 각각 $\displaystyle L_1,L_2$인 두 선분으로 분할할 때, 이 분할이 황금분할이다.’로 이해할 수 있다. 따라서 황금분할은 $\displaystyle L\cdot(L-L_1)=L_1\cdot L_1$을 만족하므로$\displaystyle L^2-L_1\cdot L-L_1^2=0\qquad\cdots\cdots\ (1)$이고 이로부터 $\displaystyle L:L_1=\frac{1+\sqrt5}{2}:1$을 얻는다.

이와 같은 길이의 비는 정오각형의 대각선의 길이와 변의 길이의 비에서도 얻어진다. 한 변의 길이가 양수 $\displaystyle a$인 정오각형 $\displaystyle P_1P_2P_3P_4P_5$를 생각하자. 그러면 삼각형 $\displaystyle \triangle P_1P_3P_4$는 밑각의 크기가 $\displaystyle \frac{2\pi}{5}$인 이등변삼각형이 된다. 이런 성질을 갖는 이등변삼각형을 황금삼각형이라 한다.정오각형의 두 대각선 $\displaystyle P_1P_3$와 $\displaystyle P_2P_5$의 교점을 $\displaystyle M$이라 하면 $\displaystyle \triangle P_5P_1M$도 황금삼각형이 되고 따라서 $\displaystyle \triangle P_1P_3P_4$와 $\displaystyle \triangle P_5P_1M$은 닮은 삼각형이다. 이로부터 삼각형 $\displaystyle \triangle P_1P_3P_4$의 옆변과 밑변의 길이의 비는 $\displaystyle P_1P_3:P_3P_4=\frac{1+\sqrt5}{2}:1$가 됨을 보일 수 있다.