자연계열 5번

[제시문 2]

(나) 황금비는 수학의 여러 분야에서 나타나는데 그 중 한 가지 재미있는 주제는 피보나치 수열과의 관계이다. 피보나치 수열은 다음과 같은 피보나치의 토끼 문제로 잘 알려져 있다.

‘첫 달에는 새로 태어난 토끼 한 쌍만 존재한다. 두 달 이상 된 토끼의 쌍은 매달 한 쌍의 새끼를 낳고 모든 토끼의 쌍은 절대 죽지 않는다고 가정한다. 그러면 $\displaystyle n$번째 달에는 몇 쌍의 토끼가 있을까?’$\displaystyle n$번째 달의 토끼의 쌍의 수를 $\displaystyle f(n)$이라 하면$\displaystyle \begin{cases}f(1)=1,f(2)=1\\f(n)=f(n-1)+f(n-2),\ n\ge3\end{cases}\qquad\cdots\cdots\ (2)$인 점화식을 만족한다. 이와 같은 수열을 피보나치 수열이라 한다. 그러면 피보나치 수열의 일반항은 어떻게 구할 수 있을까?

이차방정식 $\displaystyle x^2-x-1=0$의 하나의 해를 $\displaystyle \Phi$라 하고, $\displaystyle g(n)=\Phi^n$ ($\displaystyle n$은 자연수)로 정의된 수열을 생각하자. 그러면 $\displaystyle \Phi^2=\Phi+1$이므로 $\displaystyle g(n+2)=\Phi^{n+2}=\Phi^n\cdot(\Phi+1)=g(n+1)+g(n)$이 된다. 이제 수열 $\displaystyle g(n)$과 $\displaystyle f(n)$의 관계를 살펴보자. 수학적 귀납법을 사용하면 2보다 크거나 같은 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle g(n+1)=f(n)g(2)+f(n-1)g(1)\qquad\cdots\cdots\ (3)$이 성립함을 보일 수 있다.

이차방정식 $\displaystyle x^2-x-1=0$의 한 근이 $\displaystyle \Phi$이면 근과 계수의 관계에 의하여 다른 한 근은 $\displaystyle -1/\Phi$이 된다. 이 결과를 위에서 얻은 관계식 (3)에 대입하면 두 식$\displaystyle \begin{cases}\Phi^{n+1}=f(n)\Phi^2+f(n-1)\Phi\\(-1/\Phi)^{n+1}=f(n)(-1/\Phi)^2+f(n-1)(-1/\Phi)\end{cases}\qquad\cdots\cdots\ (4)$를 얻는다. 이로부터 피보나치 수열의 일반항은 $\displaystyle f(n)=\frac{((1+\sqrt5)/2)^n-((1-\sqrt5)/2)^n}{\sqrt5}$가 됨을 알 수 있다.

(다) 지름이 1인 원의 둘레 길이를 $\displaystyle \pi$로 정의하고 이를 원주율이라 한다. 원주율의 근사값을 원하는 정확도로 계산하는 것은 실생활에서 매우 중요하다. 그러면 $\displaystyle \pi$의 근사값을 어떻게 구할 수 있는지 살펴보자.탄젠트함수 $\displaystyle \tan:(-\frac\pi2,\frac\pi2)\to(-\infty,\infty),\ \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$는 연속함수이고 일대일대응관계이므로 연속인 역함수 $\displaystyle \mathrm{Inv}:(-\infty,+\infty)\to(-\frac\pi2,\frac\pi2)$를 갖는다. 예로 $\displaystyle \tan(\frac\pi4)=1$이므로 $\displaystyle \mathrm{Inv}(1)=\frac\pi4$이다. 초항이 1이고 공비가 $\displaystyle -x^2$인 무한등비수열의 합은 $\displaystyle -1<x<1$일 때, $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^n=\frac1{1+x^2}$로 주어진다. 미적분학의 발달로 17세기에는 이 함수의 좌변과 우변을 각각 적분하여 $\displaystyle -1<x\le1$인 범위에서 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)}x^{2n+1}=\mathrm{Inv}(x)$가 성립함을 발견하였다. 이 식에 $\displaystyle x=1$을 대입하면 $\displaystyle \frac\pi4=\mathrm{Inv}(1)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}$가 되고 이로부터 원주율의 근사값이 계산된다.만일 $\displaystyle \mathrm{Inv}(1)=\mathrm{Inv}(\frac1a)+\mathrm{Inv}(\frac1b)$로 표현할 수 있는 1보다 큰 자연수의 쌍 $\displaystyle (a,b)$를 찾을 수 있으면 우리는 원주율의 근사값을 훨씬 빨리 원하는 정밀도로 계산할 수 있게 된다. 이러한 성질을 만족하는 자연수의 쌍은 어떻게 구할 수 있을까?

18세기에 오일러(Euler)는$\displaystyle \mathrm{Inv}(\frac12)+\mathrm{Inv}(\frac13)=\mathrm{Inv}(1)\qquad\cdots\cdots\ (5)$이 성립함을 발견하였는데 이는 좌표평면위에 놓인 다섯 개의 점 $\displaystyle O=(0,0)$, $\displaystyle A=(2,1)$, $\displaystyle B=(3,-1)$, $\displaystyle C=(2,0)$, $\displaystyle D=(3,0)$과 이로부터 얻어지는 3개의 직각 삼각형 $\displaystyle \triangle OAB$, $\displaystyle \triangle OAC$, $\displaystyle \triangle OBD$로부터 증명된다.

이제 이 관계식을 좀 더 일반화하자. 관계식 (2)에 제시된 피보나치 수열의 점화식을 행렬로 표시하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{pmatrix}f(2)\\f(1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$이고 $\displaystyle \begin{pmatrix}f(n+2)\\f(n+1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f(n+1)\\f(n)\end{pmatrix},\ n\ge1.\quad\cdots\cdots\ (6)$$\displaystyle f(0)=0$으로 정의하면 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \begin{pmatrix}f(n+1)&f(n)\\f(n)&f(n-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^{n}$이 성립하고 행렬의 성질로부터$\displaystyle f(n+1)f(n-1)-f(n)^2=(-1)^n\qquad\cdots\cdots\ (7)$을 얻는다.탄젠트 함수의 각의 합에 대한 공식은 다음과 같이 주어진다.$\displaystyle \tan(a+b)=\frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}\qquad\cdots\cdots\ (8)$위의 두 식 (7)과 (8)을 사용하면 다음 식이 얻어진다.$\displaystyle \mathrm{Inv}(\frac1{f(2n)})=\mathrm{Inv}(\frac1{f(2n+1)})+\mathrm{Inv}(\frac1{f(2n+2)})\quad\cdots\cdots\ (9)$따라서 $\displaystyle \mathrm{Inv}(1)=\sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{Inv}(\frac1{f(2n+1)})$로 표현되고 이로부터 원주율과 피보나치 수열간의 관계 $\displaystyle \frac\pi4=\sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{Inv}(\frac1{f(2n+1)})$가 성립함을 볼 수 있다.