자연계열 4번

[제시문 2]

(나) 황금비는 수학의 여러 분야에서 나타나는데 그 중 한 가지 재미있는 주제는 피보나치 수열과의 관계이다. 피보나치 수열은 다음과 같은 피보나치의 토끼 문제로 잘 알려져 있다.

‘첫 달에는 새로 태어난 토끼 한 쌍만 존재한다. 두 달 이상 된 토끼의 쌍은 매달 한 쌍의 새끼를 낳고 모든 토끼의 쌍은 절대 죽지 않는다고 가정한다. 그러면 $\displaystyle n$번째 달에는 몇 쌍의 토끼가 있을까?’$\displaystyle n$번째 달의 토끼의 쌍의 수를 $\displaystyle f(n)$이라 하면$\displaystyle \begin{cases}f(1)=1,f(2)=1\\f(n)=f(n-1)+f(n-2),\ n\ge3\end{cases}\qquad\cdots\cdots\ (2)$인 점화식을 만족한다. 이와 같은 수열을 피보나치 수열이라 한다. 그러면 피보나치 수열의 일반항은 어떻게 구할 수 있을까?

이차방정식 $\displaystyle x^2-x-1=0$의 하나의 해를 $\displaystyle \Phi$라 하고, $\displaystyle g(n)=\Phi^n$ ($\displaystyle n$은 자연수)로 정의된 수열을 생각하자. 그러면 $\displaystyle \Phi^2=\Phi+1$이므로 $\displaystyle g(n+2)=\Phi^{n+2}=\Phi^n\cdot(\Phi+1)=g(n+1)+g(n)$이 된다. 이제 수열 $\displaystyle g(n)$과 $\displaystyle f(n)$의 관계를 살펴보자. 수학적 귀납법을 사용하면 2보다 크거나 같은 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle g(n+1)=f(n)g(2)+f(n-1)g(1)\qquad\cdots\cdots\ (3)$이 성립함을 보일 수 있다.

이차방정식 $\displaystyle x^2-x-1=0$의 한 근이 $\displaystyle \Phi$이면 근과 계수의 관계에 의하여 다른 한 근은 $\displaystyle -1/\Phi$이 된다. 이 결과를 위에서 얻은 관계식 (3)에 대입하면 두 식$\displaystyle \begin{cases}\Phi^{n+1}=f(n)\Phi^2+f(n-1)\Phi\\(-1/\Phi)^{n+1}=f(n)(-1/\Phi)^2+f(n-1)(-1/\Phi)\end{cases}\qquad\cdots\cdots\ (4)$를 얻는다. 이로부터 피보나치 수열의 일반항은 $\displaystyle f(n)=\frac{((1+\sqrt5)/2)^n-((1-\sqrt5)/2)^n}{\sqrt5}$가 됨을 알 수 있다.