자연계열 3번

제시문 2

몇 개의 직선이나 곡선 위에 간격을 두고 못을 박고 실을 팽팽하게 연결하여 다양한 곡선 형태를 시각적으로 나타나게 할 수 있다. <그림 1>은 이런 방법으로 만든 공예 작품의 예이다.아름답게 보이는 이 공예 작품에는 수학적인 원리가 숨어 있다. 평면에 특정한 규칙을 따라 많은 직선 또는 선분을 그리면 그 직선들이 만드는 영역이 생기게 되는데, 흥미롭게도 그 영역의 경계가 곡선이 되는 경우가 있다. 기하학적으로 설명하자면 경계를 이루는 곡선은 평면에 그려진 직선들과 접하는 성질을 갖고 있다.이와 같은 원리를 생각하고 <그림 1>의 공예 작품을 다시 보면, 구성된 실들에 접하는 곡선이 시각적으로 보이는 것을 알 수 있다.

<그림 1>

다음의 (가), (나)는 위의 원리에 의하여 시각적으로 나타나는 곡선의 식을 구하는 과정을 예를 들어 설명하고 있다.

(가) $\displaystyle t$가 실수일 때, $\displaystyle xy$평면 위의 두 점 $\displaystyle (t,t)$와 $\displaystyle (t-10,10-t)$를 연결하는 직선 $\displaystyle l_t$의 방정식은 $\displaystyle l_t:\;y=\frac{t-5}5x+\frac{10t-t^2}5$이다. <그림 2>는 $\displaystyle t=-2,-1,0,1,2,3,\;\cdots,12$에 대하여 직선 $\displaystyle l_t$를 그린 것이다. 직선 $\displaystyle l_t$를 모든 실수 $\displaystyle t$에 대하여 그리면 이 직선들로 이루어지는 영역이 생기고, 이 영역의 경계가 곡선 모양으로 나타난다. 이 곡선을 C라고 하자.

<그림 2>

곡선 C가 주어진 모든 직선 $\displaystyle l_t$에 접한다는 성질을 이용하여 곡선 C의 식을 찾아보자.<그림 3>에서와 같이 각 실수 $\displaystyle a$에 대하여 직선 $\displaystyle l_a:\;y=\frac{a-5}5x+\frac{10a-a^2}5$과 $\displaystyle t\ne a$인 실수 $\displaystyle t$에 대한 직선 $\displaystyle l_t$의 교점을 $\displaystyle (X(t),Y(t))$라고 하면, 점 $\displaystyle \left(\lim_{t\to a}X(t),\lim_{t\to a}Y(t)\right)$는 곡선 C 위에 놓이게 된다.

<그림 3>

직선 $\displaystyle l_a$와 $\displaystyle l_t$의 식을 연립하여 $\displaystyle X(t)$를 구하면 $\displaystyle X(t)=t+a-10$이므로 $\displaystyle \lim_{t\to a}X(t)=2a-10$이고, 점 $\displaystyle (X(t),Y(t))$가 직선 $\displaystyle l_a$의 식을 만족한다는 사실로부터 $\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to a}Y(t)&=\frac{a-5}5\lim_{t\to a}X(t)+\frac{10a-a^2}5\\&=\frac{a-5}5(2a-10)+\frac{10a-a^2}5=\frac{a^2-10a+50}5\end{aligned}$이다. 따라서 관계식 $\displaystyle x=2a-10$, $\displaystyle y=\frac15a^2-2a+10$에서 $\displaystyle a$를 소거하여 곡선 C의 식을 구하면 다음과 같은 포물선의 방정식을 얻는다. $\displaystyle C:\;y=\frac1{20}x^2+5$

(나) $\displaystyle t$가 $\displaystyle 0<t<10$인 실수일 때, $\displaystyle xy$평면 위의 두 점 $\displaystyle A(10-t,0)$, $\displaystyle B\left(0,\frac{20t}{10+t}\right)$와 원점 O를 꼭짓점으로 하는 삼각형 OAB는 둘레의 길이가 일정하다는 특성을 갖는다.이때 두 점 A, B를 연결하는 직선을 $\displaystyle l_t$라고 하면 $\displaystyle l_t:\;y=-\frac{20t}{(10-t)(10+t)}x+\frac{20t}{10+t}$이다. <그림 4>는 $\displaystyle t=1,2,\;\cdots,9$에 대하여 직선 $\displaystyle l_t$를 그린 것이다. 직선 $\displaystyle l_t$를 $\displaystyle 0<t<10$인 모든 실수 $\displaystyle t$에 대하여 그려 만든 영역의 경계를 이루는 곡선을 S라고 하자. (단, 곡선 S는 제1사분면에 있다.)$\displaystyle 0<a<10$인 각 실수 $\displaystyle a$에 대하여 직선 $\displaystyle l_a:\;y=-\frac{20a}{(10-a)(10+a)}x+\frac{20a}{10+a}$와 $\displaystyle t\ne a$인 실수 $\displaystyle t$에 대한 직선 $\displaystyle l_t$의 교점을 $\displaystyle (X(t),Y(t))$라고 하면, 점 $\displaystyle \left(\lim_{t\to a}X(t),\lim_{t\to a}Y(t)\right)$는 곡선 S 위에 놓이게 된다.

<그림 4>

직선 $\displaystyle l_a$와 $\displaystyle l_t$의 식을 연립하여 풀면 $\displaystyle X(t)=\frac{10(10-a)(10-t)}{100+at}$이므로 $\displaystyle \lim_{t\to a}X(t)=\frac{10(10-a)^2}{100+a^2}$ $\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to a}Y(t)&=-\frac{20a}{(10-a)(10+a)}\lim_{t\to a}X(t)+\frac{20a}{10+a}=-\frac{200a(10-a)}{(10+a)(100+a^2)}+\frac{20a}{10+a}\\&=\frac{20a^2}{(100+a^2)}\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle x=\frac{10(10-a)^2}{100+a^2}$, $\displaystyle y=\frac{20a^2}{100+a^2}$로 두면 $\displaystyle (x,y)$는 곡선 S 위의 점이다.이때 $\displaystyle x-10=-\frac{200a}{100+a^2}$, $\displaystyle y-10=\frac{10(a^2-100)}{100+a^2}$이므로 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \begin{aligned}(x-10)^2+(y-10)^2&=\frac{(200a)^2}{(100+a^2)^2}+\frac{100(a^2-100)^2}{(100+a^2)^2}=\frac{100(400a^2+(a^2-100)^2)}{(100+a^2)^2}\\&=\frac{100(a^2+100)^2}{(100+a^2)^2}=100\end{aligned}$그러므로 곡선 S 위의 점 $\displaystyle (x,y)$가 만족하는 식은 $\displaystyle (x-10)^2+(y-10)^2=100$이다.