자연계열 4번

$\displaystyle \begin{aligned}l_t:\;y&=(4t-2)(x-t)+2t-2\\&=(4t-2)x-4t^2+4t-2\end{aligned}$이므로 $\displaystyle l_t$의 방정식은 $\displaystyle y=2(2t-1)x-2(2t^2-2t+1)$이다.각 실수 $\displaystyle a$에 대하여 직선 $\displaystyle l_a:\;y=2(2a-1)x-2(2a^2-2a+1)$과 $\displaystyle t\ne a$인 실수 $\displaystyle t$에 대한 직선 $\displaystyle l_t$의 교점을 $\displaystyle (X(t),Y(t))$라고 하면, 점 $\displaystyle \left(\lim_{t\to a}X(t),\lim_{t\to a}Y(t)\right)$는 곡선 C 위에 놓이게 된다.직선 $\displaystyle l_a$와 $\displaystyle l_t$의 식을 연립하여 $\displaystyle X(t)$를 구하면 $\displaystyle X(t)=a+t-1$이므로 $\displaystyle \lim_{t\to a}X(t)=2a-1$이고, 점 $\displaystyle (X(t),Y(t))$가 직선 $\displaystyle l_a$의 식을 만족한다는 사실로부터 $\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to a}Y(t)&=2(2a-1)\lim_{t\to a}X(t)-2(2a^2-2a+1)=2(2a-1)\times(2a-1)-2(2a^2-2a+1)\\&=4a^2-4a\end{aligned}$이다. 따라서 관계식 $\displaystyle x=2a-1$, $\displaystyle y=4a^2-4a$에서 $\displaystyle a$를 소거하여 곡선 C의 식을 구하면 다음과 같은 포물선의 방정식을 얻는다. $\displaystyle C:\;y=x^2-1$