자연계열 3번

(1)점 A는 곡선 $\displaystyle y=\frac13x^3-x+10$위에 있으므로 A의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle \frac83-2+10=\frac{32}3$이다. $\displaystyle y^{\prime}=x^2-1$이므로 $\displaystyle x=2$인 점 A에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle 2^2-1=3$이고, 접선의 방정식은 $\displaystyle y=3(x-2)+\frac{32}3$, 즉 $\displaystyle y=3x+\frac{14}3$이다.

(2)접선과 이 곡선이 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac13x^3-x+10=3x+\frac{14}3$를 만족한다.$\displaystyle \frac13(x^3-12x+16)=0$에서 $\displaystyle (x-2)(x^2+2x-8)=(x-2)^2(x+4)=0$이므로 $\displaystyle x=2$, $\displaystyle x=-4$이다. 따라서 B의 $\displaystyle x$좌표는 -4이다.

(3)$\displaystyle \left(\frac13x^3-x+10\right)-\left(3x+\frac{14}3\right)=\frac13(x-2)^2(x+4)$이므로 구간 $\displaystyle [-4,2]$에서$\displaystyle \left(\frac13x^3-x+10\right)-\left(3x+\frac{14}3\right)\ge0$, 즉 $\displaystyle \frac13x^3-x+10\ge3x+\frac{14}3$이다.따라서 곡선 $\displaystyle y=\frac13x^3-x+10$과 선분 AB로 둘러싸인 도형의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-4}^2\left\{\frac13x^3-x+10-\left(3x+\frac{14}3\right)\right\}dx&=\Biggl[\frac1{12}x^4-2x^2+\frac{16}3x\Biggr]_{-4}^2\\&=\frac{16}{12}-8+\frac{32}3-\frac{256}{12}+32+\frac{64}3=36\end{aligned}$