자연계열 2번

(1)$\displaystyle \angle\mathrm{AOP}=\theta$라 하자. 호 AP의 길이는 $\displaystyle a=1\times\theta=\theta$이다. 또 호 AQ의 길이는 $\displaystyle 2a=1\times\angle\mathrm{AOQ}$이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{AOQ}=2a$이다. 따라서 $\displaystyle \angle\mathrm{POQ}=a+2a=3a$이다.부채꼴 OPQ의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times1^2\times3a=\frac{3a}2$이고 삼각형 OPQ의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times1^2\times\sin3a=\frac{\sin3a}2$이므로 활꼴의 넓이는 $\displaystyle f(a)=\frac12(3a-\sin3a)$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}=\sin3a$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}}=\cos3a$이고 삼각형 PHQ의 넓이는 삼각형 OPQ의 넓이에서 삼각형 OPH의 넓이를 뺀 것이므로$\displaystyle g(a)=\frac12\sin3a-\frac12\sin3a\cos3a=\frac12\sin3a(1-\cos3a)$이다.

(2)$\displaystyle \lim_{a\to0+}\frac{f(a)}a=\lim_{a\to0+}\frac{\frac12(3a-\sin3a)}a=\frac12\left(\lim_{a\to0+}\frac{3a}a-3\lim_{a\to0+}\frac{\sin3a}{3a}\right)=\frac12(3-3)=0$이다.

(3)$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{a\to0+}\frac{g(a)}{a^3}&=\lim_{a\to0+}\frac{\frac12\sin3a(1-\cos3a)}{a^3}=\frac12\lim_{a\to0+}\frac{\sin3a\times\sin^23a}{a^3(1+\cos3a)}\\&=\frac12\lim_{a\to0+}\left(\frac{\sin3a}a\right)^3\times\frac1{1+\cos3a}\\&=\frac12\lim_{a\to0+}27\times\left(\frac{\sin3a}{3a}\right)^3\times\frac1{1+\cos3a}=\frac{27}4\end{aligned}$이다.