자연계열 1-3번

(제시문)

실수의 곱셈에 관한 성질 중에는 행렬의 곱셈에서는 성립하지 않는 것들이 있다. 대표적인 예로 행렬의 곱셈은 교환법칙을 만족하지 않는다. 그 결과 임의의 실수 $\displaystyle a , b$에 대하여 등식 $\displaystyle ( a + b )^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 은 항상 성립하는 반면, 정사각행렬 $\displaystyle A , B$에 대하여 $\displaystyle ( A + B )^{2} = A^{2} +2 AB + B^{2}$은 항상 성립하지는 않는다.

또 다른 예로서 0이 아닌 두 실수의 곱은 항상 0이 아니지만, 영행렬이 아닌 두 정사각행렬의 곱은 영행렬이 될 수 있다. 따라서 $\displaystyle a^{2} - 1 = ( a - 1 ) ( a + 1 ) = 0$을 만족하는 실수 $\displaystyle a$는 $\displaystyle 1 , - 1$ 밖에 없지만, $\displaystyle A^{2} - I = ( A - I ) ( A + I ) = O$을 만족하는 정사각행렬 $\displaystyle A$는 $\displaystyle I$와 $\displaystyle - I$외에 다른 것이 존재할 수 있다($\displaystyle I$는 항등행렬, $\displaystyle O$는 영행렬).

(문제)