자연계열 1번

[문제 1]

반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 정$\displaystyle n$각형이 있다. 이 정$\displaystyle n$각형을 둘레의 길이와 같은 길이의 실로 한 바퀴 감았다. 이 때, 실의 한 쪽 끝은 한 꼭짓점에 고정이 되어 있다. 정$\displaystyle n$각형과 같은 평면 위에서 실을 팽팽한 상태로 유지하면서 실 전체가 최초로 직선이 되는 순간까지 풀었을 때, 실의 다른 끝점이 움직인 거리를 $\displaystyle L_{n}$이라고 하자.

(a) 아래 그림은 정사각형의 경우를 보여준다. $\displaystyle L_{4}$를 구하여라.

(b) $\displaystyle L_{n}$을 구하여라.

(c) 정$\displaystyle n$각형을 반지름의 길이가 1인 원으로 바꾸었을 때, 실의 끝점이 만드는 곡선의 길이를 구하여라.