자연계열 2번

[문제 2]

개구간 $\displaystyle \left( - \frac{{\pi}}{2} , \frac{{\pi}}{2} \right)$에서 정의된 함수 $\displaystyle F ( x ) = \sin x$의 역함수를 $\displaystyle G ( x )$라고 하고, 개구간 $\displaystyle ( - 2 , 2 )$에서 정의된 함수 $\displaystyle f ( x ) = 2 \sin \left( \frac{{\pi x}}{4} \right)$의 역함수를 $\displaystyle g ( x )$라고 하자.

(a) $\displaystyle g ( 1 )$과 $\displaystyle h ( g ( \sqrt{2} ) )$의 값을 구하여라. 여기서 $\displaystyle h ( x )$는 개구간 $\displaystyle \left( - \frac{{\pi}}{2} , \frac{{\pi}}{2} \right)$에서 정의된 $\displaystyle \tan x$의 역함수이다.

(b) 함수 $\displaystyle G$를 이용하여 $\displaystyle g ( x )$를 나타내어라. 그리고 두 함수 $\displaystyle f ( x )$와 $\displaystyle g ( x )$의 그래프 개형을 그려라.

(c) 두 함수 $\displaystyle f ( x )$와 $\displaystyle g ( x )$의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라.

(d) 함수 $\displaystyle g ( x )$의 도함수를 구하여라.