자연계열 3번

[문제 3]

$\displaystyle a_{1} = 6 , b_{1} = 3$인 두 수열 $\displaystyle \left\{ a_{n} \right\} , \left\{ b_{n} \right\}$은 다음의 관계를 만족시킨다.$\displaystyle a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2 b_{n}$, $\displaystyle b_{n + 1} = a_{n} + 3 b_{n}$ $\displaystyle ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )$.

(a) $\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{n + 1} \\ b_{n + 1}\end{pmatrix}} = A {\begin{pmatrix}a_{n} \\ b_{n}\end{pmatrix}}$을 만족시키는 2차 정사각행렬 $\displaystyle A$를 구하여라.

(b) $\displaystyle A \begin{pmatrix}x \\ 1\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix}x \\ 1\end{pmatrix}$을 만족시키는 $\displaystyle \lambda , x$의 순서쌍 $\displaystyle ( \lambda , x )$를 모두 구하여라.

(c) $\displaystyle A \begin{pmatrix}x \\ 1\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix}x \\ 1\end{pmatrix}$이면 $\displaystyle A^{n} \begin{pmatrix}x \\ 1\end{pmatrix} = \lambda^{n} \begin{pmatrix}x \\ 1\end{pmatrix}$이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하여라.

(d) $\displaystyle A^{n}$과 $\displaystyle a_{n}$, $\displaystyle b_{n}$을 구하여라.