자연계열 B 1번

점 $\displaystyle P_{0}=(1,0)$에서 출발하여 중심이 원점인 단위 원 위에 일정한 간격으로 점 $\displaystyle P_{1}$, $\displaystyle P_{2}$, $\displaystyle P_{3}$, $\displaystyle \cdots$을 아래 그림과 같이 반시계 방향으로 표시해 나간다. 이때, $\displaystyle P_{n}=(x_{n},y_{n})$이라고 하자(단, $\displaystyle n$은 자연수).

(a) $\displaystyle x_{1}$을 사용해 $\displaystyle x_{2}$, $\displaystyle x_{3}$을 표현하여라.

(b) 임의의 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle x_{n}=f_{n}(x_{1})$을 만족하는 $\displaystyle n$차 다항식 $\displaystyle f_{n}(x)$가 존재함을 보여라.

(c) $\displaystyle f_{n}(x)$를 일차식의 곱으로 인수분해하여라(등식 $\displaystyle f_{n}(\cos\theta)=\cos(n\theta)$를 참고).

(d) 서로 다른 $\displaystyle m$, $\displaystyle n$에 대하여, 다음 극한값을 구하여라.$\displaystyle \lim_{a\to 1^{-}}\int_{-a}^{a}\frac{f_{m}(x)f_{n}(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx$