자연계열 B 3번

[문제 3]

그림과 같이 좌표평면에 장축의 길이가 $\displaystyle 2 \sqrt{3}$이고 단축의 길이가 2인 타원이 있다. 타원 위의 점 $\displaystyle \mathrm{B}$가 점 $\displaystyle \mathrm{A} ( 0 , 1 )$ 에서 출발하여 시계 방향으로 돌고 있다. 이 때, $\displaystyle \angle \mathrm{AOB} = \theta$라 하자. 다음 물음에 답하여라.

(a) 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$의 길이를 $\displaystyle \theta$를 이용하여 나타내어라.

(b) 시각 $\displaystyle t ( 0 \leq t \leq 1 )$에서 $\displaystyle \theta = 2 \pi t^{2}$이다. $\displaystyle \theta = \frac{{\pi}}{4}$인 순간에 점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 속력을 구하여라.

(c) 두 선분 $\displaystyle \mathrm{OA} , \mathrm{OB}$와 타원으로 둘러싸인 빗금 친 영역을 $\displaystyle x$축 둘레로 회전시켜서 생긴 회전체의 부피 $\displaystyle V ( \theta )$를 구하고, $\displaystyle V ( \theta )$의 $\displaystyle \theta$에 대한 변화율이 최대가 되는 $\displaystyle \theta$를 구하여라. (단, $\displaystyle 0 < \theta < \frac{{\pi}}{2}$이다. )