자연계열 B 2번

[문제 2]

두 무한수열 $\displaystyle \left\{ a_{n} \right\}$과 $\displaystyle \left\{ b_{n} \right\}$에 대하여 새로운 수열 $\displaystyle \left\{ c_{n} \right\}$을 다음과 같이 정의한다.$\displaystyle c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{n + 1 - k} ( n \geq 1 )$ (즉, $\displaystyle c_{1} = a_{1} b_{1} , c_{2} = a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} , c_{3} = a_{1} b_{3} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{1} , \cdots$)이 때, $\displaystyle \left\{ c_{n} \right\} = \left\{ a_{n} \right\} \diamond \left\{ b_{n} \right\}$이라고 하자.

수열 $\displaystyle \left\{ a_{n} \right\}$을 $\displaystyle \left\{ a_{n} \right\} = ( a_{1} , a_{2} , a_{3} , \cdots )$로 나타낼 때, 다음은 연산 $\displaystyle \diamond$을 적용한 예이다.$\displaystyle \begin{aligned}( 0 , 1 , 2 , 0 , 0 , 0 , 0 , \cdots ) \diamond ( 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , \cdots ) &= ( 0 , 1 , 3 , 3 , 2 , 0 , 0 , \cdots ) \\ ( 1 , - 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , \cdots ) \diamond ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , \cdots ) &= ( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , \cdots )\end{aligned}$

모든 무한수열들의 집합을 $\displaystyle S$라고 하면, 연산 $\displaystyle \diamond$는 $\displaystyle S$에서 정의된 연산이다. 임의의 세 수열 $\displaystyle \left\{ a_{n} \right\} , \left\{ b_{n} \right\} , \left\{ c_{n} \right\}$에 대하여 $\displaystyle \left\{ a_{n} \right\} \diamond \left\{ \left\{ b_{n} \right\} \diamond \left\{ c_{n} \right\} \right\} = ( \left\{ a_{n} \right\} \diamond \left\{ b_{n} \right\} ) \diamond \left\{ c_{n} \right\}$이 성립한다.

다음을 만족하는 수열을 $\displaystyle \left\{ e_{n} \right\}$이라고 하자.

다음 물음에 답하여라.

(a) 수열 $\displaystyle \left\{ e_{n} \right\}$을 구하여라.

(b) 임의의 자연수 $\displaystyle m$에 대하여 수열 $\displaystyle \left\{ a_{n} \right\} = ( 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , \cdots )$을 $\displaystyle m$번 반복 연산하여 얻은 수열 $\displaystyle \underbrace{\{a_n\}\diamond\cdots\diamond\{a_n\}}_m$($\displaystyle m = 2$인 경우, $\displaystyle \{a_n\}\diamond\{a_n\}$을 의미함)의 일반항을 구하여라. ( 단, 증명할 필요 없음)

(c) 수열 $\displaystyle \left\{ 3^{n - 1} \right\} = ( 1 , 3 , 9 , 27 , 81 , \cdots )$에 대하여 $\displaystyle \left\{ 3^{n - 1} \right\} \diamond \left\{ b_{n} \right\} = \left\{ e_{n} \right\}$을 만족하는 수열 $\displaystyle \left\{ b_{n} \right\}$을 구하여라. 또한 수열 $\displaystyle \left\{ n \cdot 3^{n - 1} \right\} = ( 1 , 6 , 27 , 108 , \cdots )$에 대하여 $\displaystyle \left\{ n \cdot 3^{n - 1} \right\} \diamond \left\{ c_{n} \right\} = \left\{ e_{n} \right\}$을 만족하는 $\displaystyle \left\{ c_{n} \right\}$을 $\displaystyle \left\{ b_{n} \right\}$을 이용하여 나타내어라.