자연계열 4번

(a) $\displaystyle \mathrm{A}$형일 확률이 $\displaystyle \frac{5}{11}$, $\displaystyle \mathrm{B}$형일 확률이 $\displaystyle \frac{2}{11}$이고 $\displaystyle \mathrm{O}$형일 확률이 $\displaystyle \frac{4}{11}$이고 $\displaystyle \frac{5}{11} + \frac{2}{11} + \frac{4}{11} = 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{AB}$형일 확률은 $\displaystyle 0$이다. 또 실제 $\displaystyle \mathrm{A}$형이고 $\displaystyle \mathrm{A}$형으로 판정할 확률은 $\displaystyle \frac{5}{11} \cdot p ,$ 실제 $\displaystyle \mathrm{B}$형이고 $\displaystyle \mathrm{A}$형으로 판정할 확률은 $\displaystyle \frac{2}{11} \cdot ( p - p^{2} ) ,$ 실제 $\displaystyle \mathrm{O}$형이고 $\displaystyle \mathrm{A}$형으로 판정할 확률은 $\displaystyle \frac{4}{11} \cdot ( 1 - p )^{2}$이므로 $\displaystyle \mathrm{A}$형으로 판정할 확률은 $\displaystyle 5 \frac{p}{11} + \frac{{2 ( p - p^{2} )}}{11} + \frac{{4 ( 1 - p )^{2}}}{11} = \frac{{2 p^{2} - p + 4}}{11}$이다.

같은 방법으로 $\displaystyle \mathrm{B}$형으로 판정할 확률은 $\displaystyle \frac{{5 ( 1 - p )^{2}}}{11} + 2 \frac{p}{11} + \frac{{4 ( p - p^{2} )}}{11} = \frac{{p^{2} - 4 p + 5}}{11}$이다.

(b) 실제 $\displaystyle \mathrm{O}$형일 사건을 $\displaystyle O ,$ $\displaystyle \mathrm{O}$형으로 판정할 사건을 $\displaystyle O^{\prime}$라고 하면 구하는 값은 $\displaystyle \mathrm{P} ( O | O^{\prime} )$이다.

주어진 조건에 의해 $\displaystyle \mathrm{P} ( O ) = \frac{4}{11} , \mathrm{P} ( O^{\prime} | O ) = p$이므로$\displaystyle \mathrm{P} ( O \cap O^{\prime} ) = \mathrm{P} ( O^{\prime} | O ) \cdot \mathrm{P} ( O ) = p \cdot \frac{4}{11} = 4 \frac{p}{11}$이다.

또 $\displaystyle \mathrm{A}$형으로 판정할 확률을 구하는 것과 같은 방법으로$\displaystyle \mathrm{P} ( O^{\prime} ) = \frac{{- 3 p^{2} + 5 p + 2}}{11}$

이므로$\displaystyle \mathrm P(O\mid O^{\prime})=\frac{\mathrm P(O\cap O^{\prime})}{\mathrm P(O^{\prime})}=\frac{\frac{4p}{11}}{\frac{-3p^2+5p+2}{11}}=\frac{4p}{-3p^2+5p+2}$이다.