자연계열 3번

$\displaystyle [ 0 , \pi ]$에서 $\displaystyle \sin n x \geq 0$인 $\displaystyle x$의 범위는$\displaystyle \frac{(2k-2)\pi}n\le x\le\frac{(2k-1)\pi}n\quad\left(k=1,\cdots,\left[\frac{n+1}2\right]\right)$Caution. 범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다: $\displaystyle n$이 짝수이면 $\displaystyle \sin(nx)\ge0$인 범위에 $\displaystyle x=\pi$도 포함된다. 원문에 나열된 구간들에는 이 고립된 끝점이 빠져 있다. 다만 이 점에서 회전 반지름은 $\displaystyle 0$이므로 부피 계산에는 영향이 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. 여기서 $\displaystyle [ x ]$는 $\displaystyle x$를 넘지 않는 최대 정수이다.

한편$\displaystyle \int x\sin^2x\,dx=\int\frac{x-x\cos2x}2\,dx=\frac{x^2}4-\frac{x\sin2x}4-\frac{\cos2x}8+C$이므로,

$\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac{(2k-2)\pi}n}^{\frac{(2k-1)\pi}n}\pi(2\sqrt x\sin nx)^2\,dx&=\frac{4\pi}{n^2}\int_{(2k-2)\pi}^{(2k-1)\pi}t\sin^2t\,dt\quad(t=nx\text{로 치환})\\&=\frac{4\pi}{n^2}\Biggl[\frac{t^2}4-\frac{t\sin2t}4-\frac{\cos2t}8\Biggr]_{(2k-2)\pi}^{(2k-1)\pi}\\&=\frac{\pi^3}{n^2}(4k-3)\end{aligned}$이다.

이를 이용하면, $\displaystyle n$이 홀수일 때는$\displaystyle V_n=\sum_{k=1}^{\frac{n+1}2}\int_{\frac{(2k-2)\pi}n}^{\frac{(2k-1)\pi}n}\pi(2\sqrt x\sin nx)^2\,dx=\sum_{k=1}^{\frac{n+1}2}\frac{\pi^3}{n^2}(4k-3)=\frac{n+1}{2n}\pi^3$이고 $\displaystyle n$이 짝수일 때는$\displaystyle V_n=\sum_{k=1}^{\frac n2}\int_{\frac{(2k-2)\pi}n}^{\frac{(2k-1)\pi}n}\pi(2\sqrt x\sin nx)^2\,dx=\sum_{k=1}^{\frac n2}\frac{\pi^3}{n^2}(4k-3)=\frac{n-1}{2n}\pi^3$이다.따라서$\displaystyle V_n=\begin{cases}\frac{n+1}{2n}\pi^3,&n\text{은 홀수}\\\frac{n-1}{2n}\pi^3,&n\text{은 짝수}\end{cases}$이다.