자연계열 3번

【문제 3】많은 인원들이 동시에 치루는 시험의 등급을 정하는 절차(예로서 대입 수능 시험)를 찾아보려 한다. 이를 위해 다음의 가상의 자료로 시작하자. 전국의 대학생들을 상대로 입학 후 동일한 영어 시험을 치룬 결과 영어 점수 $\displaystyle X$는 100점 만점에 평균 $\displaystyle m=50$점, 표준편차 $\displaystyle \sigma=10$점의 정규분포(즉 $\displaystyle X\sim N(50,10^2)$)를 따름을 알게 되었다. 학생들의 점수를 학생들에게 공개하지 않고 등급으로 구분하여 교육을 달리 실시하려 한다. 이를 위해 사전에 원하는 등급의 수($\displaystyle c$)가 주어진다. 등급별 점수의 폭($\displaystyle w$)은 일정하게 시작하되 주어진 등급의 수에 일치하도록 끝 등급을 중심으로 등급을 합칠 수 있다. 다음의 문제를 풀면서 시험의 등급을 정하는 절차를 생각해 보기로 한다. 확률 계산을 위해 다음의 표준정규분포표 ($\displaystyle Z=\frac{(X-m)}\sigma\sim N(0,1)$)를 이용하라. 계산상의 편이를 위하여 $\displaystyle P(Z\geq3)=0$으로 간주한다.

먼저 아래와 같이 등급을 표시하는 두 함수 $\displaystyle G_c^w(x)$($\displaystyle w=$등급의 폭, $\displaystyle c=$주어진 등급의 수)를 다음과 같이 정의하자. 단 $\displaystyle [a]$는 $\displaystyle a$를 넘지 않는 최대 정수, $\displaystyle ((a))$는 $\displaystyle a$에 가장 가까운 정수로 정의하되 정수의 중앙에 위치하면 큰 수로 정의하기로 한다. (예로서 $\displaystyle [2.7]=2,\ ((2.5))=3$)

방법 $\displaystyle A$ : $\displaystyle c=6$. $\displaystyle G_6^{10}(x)=\begin{cases}8-\left[\frac x{10}\right],&20\leq x<80\\1,&x\geq80\\6,&x<20.\end{cases}$

방법 $\displaystyle B$ : $\displaystyle c=7$, $\displaystyle G_7^{10}(x)=\begin{cases}9-\left(\left(\frac x{10}\right)\right),&15\leq x<85\\1,&x\geq85\\7,&x<15.\end{cases}$

예로서 한 학생이 $\displaystyle X=43$을 받았다면, 방법 $\displaystyle A$로는 4등급, 방법 $\displaystyle B$로는 5등급이 된다.