자연계열 2번

<수학 문제>

함수 $\displaystyle y=f(x)$가 폐구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이며, $\displaystyle f(x)\geq0$일 때 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle x$축 그리고 두 직선 $\displaystyle x=a,\ x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle A$를 구분구적법으로 구할 수 있다. 구간 $\displaystyle [a,b]$를 $\displaystyle n$등분하여 양 끝점과 등분점을$\displaystyle a=x_0,\ x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{n-1},\ x_n=b$라고 하자. 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 소구간 $\displaystyle [x_{k-1},x_k]\ (k=1,2,\cdots,n)$, 그리고 두 직선 $\displaystyle x=x_{k-1},\ x=x_k$로 둘러싸인 도형을 기본도형(삼각형, 직사각형, 사다리꼴 등)으로 근사시켰을 때 기본도형의 면적을 $\displaystyle T_k$라 하고 이러한 $\displaystyle n$개의 기본도형들의 넓이의 합을 $\displaystyle S_n$, 즉$\displaystyle S_n=T_1+T_2+\cdots+T_n$이라 하면, 도형의 넓이 $\displaystyle A$는$\displaystyle A=\lim_{n\to\infty}S_n$이다. 한편 정적분의 정의에 의해 $\displaystyle f(x)\geq0$일 때 정적분과 넓이의 관계는$\displaystyle A=\int_a^b f(x)\,dx$이다. 따라서$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}S_n$인 관계가 성립한다. 이 관계식은 만약 우리가 적분값을 구할 수 없는 경우 적분값의 근사값으로 $\displaystyle n$개의 기본도형들의 넓이의 합 $\displaystyle S_n$을 택할 수 있음을 말해준다. 즉,$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\fallingdotseq S_n$ ------(*).

어떤 수열의 합을 정확히 구하기 어려운 경우에 위의 결과를 역으로 생각하면 합에 대한 근사값을 계산하는 데 적용할 수 있다. 만약 주어진 수열의 합에서 수열의 각 항이 어떤 기본도형의 넓이를 나타내어 관계식 (*)가 성립한다면, 그리고 우리가 그 적분값을 계산할 수 있다면 우리는 주어진 수열의 합에 대한 근사값을 계산할 수 있음을 알 수 있다.

다음과 같은 각 수열의 합 $\displaystyle S$와 $\displaystyle T$를 계산하려고 한다.$\displaystyle S=\frac1{50^3}+\frac1{52^3}+\cdots+\frac1{96^3}+\frac1{98^3},\quad T=\frac1{52^3}+\frac1{54^3}+\cdots+\frac1{98^3}+\frac1{100^3}$

단, 합을 계산할 때 수열의 각 항을 직접 계산하지 않고 위의 사실을 바탕으로 근사값을 구하려고 한다. 다음 물음에 답하고, 그 이유를 설명하시오.