자연계열 1번

연세대 미래캠퍼스 2010학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/yonsei_mirae/2010mo/jayeon_1

【 문제 1 】 가스탄(폭발과 동시에 유해가스가 배출되는 폭탄)이 폭발하면서 아래 그림과 같은 반구의 모양으로 유해가스가 퍼져 나간다고 하자.(단, 부피의 시간에 대한 변화율은 일정하다고 한다.) 아래 표는 초당 가스의 부피를 나타낸 자료이다. 다음 물음에 답하시오.

$t\ (\text{초})$	$5$	(가)	$30$	$60$
$V\ (\mathrm{km}^3)$	$1,000\pi$	$2,250\pi$	(나)	$14,750\pi$

【1-1】 빈 칸 (가), (나)의 값을 추정하시오.(10점)

【1-2】 위와 같이 가스가 퍼져갈 때, 반지름이 5㎞일 때 부피의 반지름에 대한 변화율을 설명하시오.(10점)

【1-3】 가스의 유해함을 막기 위해서는 반지름 r인 반구에 내접하는 최대 원기둥의 부피에 해당하는 양의 해독가스가 필요하다고 한다. 반지름이 5㎞일 때 필요한 해독가스의 양이 얼마인지를 설명하시오.(10점)

해설강의 준비중

연세대 미래캠퍼스 2010학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/yonsei_mirae/2010mo/jayeon_1

【1-1】부피의 시간에 대한 변화율이 일정함을 이용하여 (가)와 (나)를 구할 수 있다.

【1-2】반구모양의 가스의 부피는 $\displaystyle \mathrm{V}_1=\frac23\pi\mathrm{r}^3$ 이므로 부피의 반지름에 대한 변화율은 $\displaystyle \frac{\mathrm{dV}_1}{\mathrm{dr}}=2\pi\mathrm{r}^2$ 이다. 따라서 이 식을 이용하면 문제해결이 가능하다.

+10점

【1-3】반지름 r인 반구에 내접하는 최대 원기둥의 부피를 알아보면, 원기둥의 반지름이 $\displaystyle \frac{\sqrt6}3\mathrm{r}$ 이고 높이가 $\displaystyle \frac{\sqrt3}3\mathrm{r}$ 일 때 원기둥의 부피가 최대임을 알 수 있다.(논리적인 설명 필요함, 설명이 틀리거나 없으면 감점.) 따라서 이 내용을 이용하여 문제해결이 가능하다.

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