의예과 1번

【문제 1】다음 질문에 답하시오. (60점)

(문제 1-1) 함수 $\displaystyle g_n(x)$와 $\displaystyle f_n(x)$의 식을 구하고 $\displaystyle n=3,a=0$인 경우 두 함수의 한 주기 그래프의 개형을 하나의 좌표평면에 그리시오. (15점)

(문제 1-2) 상수 $\displaystyle a$값에 따라 함수 $\displaystyle f_n(x)$의 그래프는 위치가 달라진다. 두 함수 $\displaystyle g_3(x)$와 $\displaystyle f_3(x)$의 그래프가 접하는 $\displaystyle a$값을 모두 구하고 그 중의 하나를 택하여 그래프를 그리시오. 그리고 그 접점에서의 접선의 기울기를 구하시오. (15점)

(문제 1-3) 두 함수 $\displaystyle g_3(x)$와 $\displaystyle f_3(x)$의 그래프가 접한 경우에 이 함수들과 유사하게 정의된 함수$\displaystyle h(x)=\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\end{pmatrix}R_b\begin{pmatrix}k&0\\0&-k\end{pmatrix}R_{-b}\begin{pmatrix}\cos x\\\sin x\end{pmatrix}$, $\displaystyle b$와 $\displaystyle k$는 상수에 대하여 모든 점에서 부등식 $\displaystyle f_3(x)\le h(x)\le g_3(x)$가 성립하도록 상수 $\displaystyle b$와 $\displaystyle k$의 값을 구하시오. (15점)

(문제 1-4) 위 문제에서 두 함수 $\displaystyle g_n(x)$와 $\displaystyle f_n(x)$의 $\displaystyle n$이 커지면 어떻게 될지 논하시오. (15점)