자연계열 1번

(가) 수 체계는 인류의 역사와 더불어 확장되었을 뿐 아니라 수학에서 가장 기본적인 도구이며 동시에 탐구의 대상이 되어왔다. 초·중등 과정의 수학에서는 자연수, 유리수, 실수, 복소수까지 수 개념을 체계적으로 확장해 가는데, 이 과정에서 반드시 같이 논의되어야 하는 것이 연산의 정의와 성질이다.

유리수 집합($\displaystyle Q$), 실수 집합($\displaystyle R$), 복소수 집합($\displaystyle C$)에서 3개 이상의 수를 연산할 때는 왼쪽에서 오른쪽으로 두 개씩 차례로 계산한다(예제1). 그러나 대부분의 학생들은 (예제2)에서 제시한 방법으로 계산할 것이다. 이와 같은 계산 과정에는 특별한 연산 성질들이 적용된다.

예제1. $\displaystyle \begin{aligned}4+13+1+(-7)+6&=((((4+13)+1)+(-7))+6)\\&=(((17+1)+(-7))+6)=((18+(-7))+6)=(11+6)=17.\end{aligned}$예제2. $\displaystyle \begin{aligned}4+13+1+(-7)+6&=4+13+(-7)+1+6=4+13+(-7)+(1+6)\\&=4+13+0=4+(13+0)=4+13=17.\end{aligned}$

(나) 수 집합에서 덧셈이나 곱셈을 자연스럽게 계산하기 위해서 만들어진 성질들은 특별한 공통점을 갖는다. 이를 통해 수 집합의 연산 구조를 일반적인 집합으로 확장하는 것이 가능하다. 예를 들면, 네 개의 실수를 정사각형 모양으로 배열하여 괄호로 묶은 $\displaystyle 2\times2$행렬들의 집합 $\displaystyle M_2(R)=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\middle|a,b,c,d\in R\right\}$에는 행렬의 덧셈과 곱셈이 정의되어 있다.

명제: $\displaystyle M_2(R)$의 임의의 원소 $\displaystyle A$와 단위행렬 $\displaystyle E$에 대하여 $\displaystyle A^2-3A+2E=O$이면 $\displaystyle A=E$ 또는 $\displaystyle A=2E$이다.