자연계열 2번

연세대 미래캠퍼스 2015학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/yonsei_mirae/2015su/jayeon_2

[문제 2]

우리가 배우는 수학은 숫자와 이를 이용한 수많은 명제들로 이루어져 있다. 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 어떤 명제가 성립함을 보이는 방법으로 아래와 같은 수학적 귀납법을 사용한다.

수학적 귀납법

자연수 $\displaystyle n$ 에 대한 명제 $\displaystyle p(n)$ 이 모든 자연수에 대하여 참임을 증명하려면, 다음과 같이 두 가지를 보이면 된다.

(1) $\displaystyle n=1$ 일 때, 명제 $\displaystyle p(n)$ 이 성립한다.

(2) $\displaystyle n=k$ 일 때, 명제 $\displaystyle p(n)$ 이 성립한다고 가정하면, $\displaystyle n=k+1$ 일 때에도 명제 $\displaystyle p(n)$ 이 성립한다.

위의 방법은 예를 들면 수열의 귀납적 정의나 자연수 집합과 연관된 많은 공식을 증명하는데 널리 사용되고 있다.

(문제 2-1) 장축의 길이가 $\displaystyle 2a$ , 단축의 길이가 $\displaystyle 2b$ 인 타원의 넓이를 구하는 방법을 설명하고 그 근거를 제시하시오.

(문제 2-2) $\displaystyle A_n$ 을 장축의 길이가 $\displaystyle 2(n+1)$ , 단축의 길이가 $\displaystyle 2n$ 인 타원의 넓이라 할 때, $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n A_k$ 의 값을 구하고 그 값이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 성립하는지 수학적 귀납법을 사용하여 설명하시오.

(문제 2-3) 자연수 집합에서 덧셈은 결합법칙이 성립하는 연산이다. 이 사실과 수학적 귀납법을 사용하여 아래의 교환법칙이 성립함을 보이시오.

교환법칙: 모든 자연수 $\displaystyle m,n$ 에 대하여 $\displaystyle m+n=n+m$ 이다

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