자연계열 1번

[제시문 1]

【문제 1】 위 [제시문 1]을 읽고 아래 질문에 답하시오. (60점)

(문제 1-1) 함수란 무엇인가 그 뜻을 쓰시오. 그리고 도함수의 정의를 쓰고 이를 이용하여 함수 $\displaystyle f(x)=x^2-2x$의 도함수를 구하시오. (15점)

(문제 1-2) 함수 $\displaystyle y=f(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하면 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 연속임을 보이시오. 그리고 함수 $\displaystyle g(x)=|x|$에 대하여 $\displaystyle x=0$에서의 미분가능성을 조사하시오. (15점)

(문제 1-3) $\displaystyle x>0$일 때, $\displaystyle x>\ln(1+x)$이 성립함을 보이시오. (10점)

(문제 1-4) 밑변과 높이의 비 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{BF}}}{\overline{\mathrm{EF}}}$의 값이 2인 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{EBF}$가 오른쪽 그림과 같이 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 길이가 1인 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$에 둘러싸여 있다. (점 $\displaystyle \mathrm{E}$는 선분 $\displaystyle \mathrm{AD}$에, 점 $\displaystyle \mathrm{F}$는 선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$에 속한다) 선분 $\displaystyle \mathrm{CF}$의 길이를 $\displaystyle x$라 할 때 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{EBF}$와 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$의 넓이의 비 $\displaystyle \left(\frac{\triangle\mathrm{EBF}}{\square\mathrm{ABCD}}\right)$를 $\displaystyle x$에 관한 함수로 나타내고, 그 함수의 최솟값과 최댓값을 구하시오.