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자연계열 2번

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연세대 미래캠퍼스 2017학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/yonsei_mirae/2017su/jayeon_2

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[제시문 2]

(가) 평면벡터와 마찬가지로 영벡터가 아닌 두 공간벡터 a⃗,b⃗\displaystyle \vec{a},\vec{b}가 이루는 각의 크기가 θ (0≤θ≤π)\displaystyle \theta\ (0\leq\theta\leq\pi)일 때 ∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\displaystyle |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta를 a⃗\displaystyle \vec{a}와 b⃗\displaystyle \vec{b}의 내적이라 하고, 기호로 a⃗⋅b⃗\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}와 같이 나타낸다. 이렇게 공간벡터의 내적을 정의하면 좌표공간에서 평면의 방정식과 구의 방정식을 쉽게 구할 수 있다.

(나) 평면 β\displaystyle \beta 밖의 한 점 Q\displaystyle Q에서 평면 β\displaystyle \beta에 내린 수선의 발 Q′\displaystyle Q^{\prime}을 점 Q\displaystyle Q의 평면 β\displaystyle \beta 위로의 정사영이라고 한다. 또 도형 F\displaystyle F의 각 점의 평면 β\displaystyle \beta 위로의 정사영으로 이루어진 도형 F′\displaystyle F^{\prime}을 도형 F\displaystyle F의 평면 β\displaystyle \beta 위로의 정사영이라고 한다.

【문제 2】 좌표공간의 세 점 A(2,1,1), B(0,3,5), C(0,0,4)\displaystyle A(2,1,1),\ B(0,3,5),\ C(0,0,4)에 대하여, 이 세 점을 지나는 평면 α\displaystyle \alpha와 두 점 A,B\displaystyle A,B를 지름의 양 끝점으로 하는 구 S\displaystyle S가 있다. 위 [제시문 2]를 참고하여 다음 질문에 풀이 과정과 답을 쓰시오. (40점)

(문제 2-1) 평면 α\displaystyle \alpha의 법선벡터 n⃗\displaystyle \vec{n}을 구하고 이를 이용하여 평면 α\displaystyle \alpha의 방정식을 구하시오.

(문제 2-2) 구 S\displaystyle S 위의 한 점 P(x,y,z)\displaystyle P(x,y,z)에 대하여 벡터 AP→\displaystyle \overrightarrow{AP}와 BP→\displaystyle \overrightarrow{BP}의 내적을 구하고, 이를 이용하여 구 S\displaystyle S의 방정식을 구하시오.

(문제 2-3) 평면 α\displaystyle \alpha와 구 S\displaystyle S가 만나서 생기는 단면의 넓이를 구하시오.

(문제 2-4) 평면 α\displaystyle \alpha와 구 S\displaystyle S가 만나서 생기는 단면의 xy\displaystyle xy평면 위로의 정사영의 넓이를 구하시오.

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