의예과 1번

【문제 1】 아래의 제시문을 읽고 다음 질문에 답하시오. (60점)

(문제 1-1) 함수란 무엇인가 그 뜻을 쓰시오. 그리고 도함수의 정의를 쓰고 이를 이용하여 로그함수 $\displaystyle y=\ln x\ (x>0)$의 도함수를 구하시오. (10점)

(문제 1-2) 함수 $\displaystyle y=f(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하면 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 연속임을 보이시오. 그리고 함수 $\displaystyle g(x)=|x|$에 대하여 $\displaystyle x=0$에서의 연속성과 미분가능성을 조사하시오. (10점)

(문제 1-3) 함수 $\displaystyle f(x)$가 열린 구간 $\displaystyle (a,b)$에서 미분가능할 때, 구간 $\displaystyle (a,b)$의 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이면 함수 $\displaystyle f(x)$는 열린 구간 $\displaystyle (a,b)$에서 증가함을 보이시오. (5점)

(문제 1-4) $\displaystyle x>0$일 때, $\displaystyle \ln(1+x)>x-\frac{2}{3}x^2$이 성립함을 보이시오. (5점)

(문제 1-5) 밑변과 높이의 비 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{BF}}}{\overline{\mathrm{EF}}}$의 값이 2인 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{EBF}$가 오른쪽 그림과 같이 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 길이가 1인 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$에 둘러싸여 있다. (점 $\displaystyle \mathrm{E}$는 선분 $\displaystyle \mathrm{AD}$에, 점 $\displaystyle \mathrm{F}$는 선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$에 속한다) 선분 $\displaystyle \mathrm{CF}$의 길이를 $\displaystyle x$라 할 때 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{EBF}$와 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$의 넓이의 비 $\displaystyle \left(\frac{\triangle\mathrm{EBF}}{\square\mathrm{ABCD}}\right)$를 $\displaystyle x$에 관한 함수로 나타내고, 그 함수의 최솟값과 최댓값을 구하시오. (15점)

(문제 1-6) 한 변의 길이가 4인 정사각형의 내부에 오른쪽 그림과 같이 두 포물선이 그려져 있다. (두 포물선은 각각 정사각형의 좌변과 상변의 중점에 접해있다) 좌표축을 설정하여 두 포물선의 교점의 좌표를 모두 구하고, 영역 A의 넓이를 구하시오. (15점)