자연계열 1번

【문제 1】 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오. (50점)

(문제 1-1) 제시문(가)를 이용하여 식 $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}=\ln a$가 성립함을 보이시오. (단, $\displaystyle a>0,\ a\ne1$)

(문제 1-2) 도함수의 정의를 이용하여 함수 $\displaystyle y=\cos2x$의 도함수를 구하시오.

(문제 1-3) 함수 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속일 때, 함수 $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle a$에서 $\displaystyle b$까지의 정적분 $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$의 정의를 쓰고, 이 정의를 이용하여 다음 극한값을 구하시오.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\pi^2}{n^2}\left(\cos\frac{\pi}{2n}+2\cos\frac{2\pi}{2n}+3\cos\frac{3\pi}{2n}+\cdots+n\cos\frac{n\pi}{2n}\right)$