자연계열 2번

【문제 2】 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오. (50점)

(문제 2-1) 첫째항 $\displaystyle a$, 공비가 $\displaystyle r$인 등비수열의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$항까지의 합 $\displaystyle S_n$을 구하는 방법을 설명하고, 다음 등비수열의 첫째항부터 제16항까지의 합 $\displaystyle S_{16}$을 구하시오.$\displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}},1,\sqrt{2},2,\cdots$

(문제 2-2) 급수의 수렴과 발산의 뜻을 설명하고, 아래 급수의 수렴과 발산을 조사하시오.$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n+2}+(n+2)\sqrt{n}}$

(문제 2-3) 가로길이가 8이고 세로길이가 4인 직사각형 $\displaystyle R_1$의 내부에 아래 그림과 같이 내접하는 타원을 그리고, 이 타원에 내접하면서 넓이가 최대인 직사각형 $\displaystyle R_2$를 그린다. 다시 이 직사각형에 내접하는 타원과 그 안에 내접하면서 넓이가 최대인 직사각형 $\displaystyle R_3$을 그린다. 이와 같은 방법으로 타원과 직사각형을 한없이 그려 나갈 때, 직사각형 $\displaystyle R_n\ (n=1,2,3,\cdots)$의 넓이를 $\displaystyle a_n$이라고 하자. 이때, 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$의 합을 구하시오.