의예과 1번

【문제 1】 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오. (60점)

(문제 1-1) 제시문(가)를 이용하여 식 $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}=\ln a$가 성립함을 보이시오. (단, $\displaystyle a>0,\ a\ne1$)

(문제 1-2) 도함수의 정의를 이용하여 함수 $\displaystyle y=\cos2x$의 도함수를 구하시오.

(문제 1-3) 급수의 수렴과 발산의 뜻을 설명하고, 아래 급수의 수렴과 발산을 조사하시오.$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n+2}+(n+2)\sqrt{n}}$

(문제 1-4) 구간 $\displaystyle \left[\frac{\pi}{4},\infty\right)$에서 곡선 $\displaystyle y=|e^{-x}\cos2x|$와 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 왼쪽에서부터 차례로 $\displaystyle S_1,S_2,\cdots,S_n,\cdots$라고 하자. 이때 일반항 $\displaystyle S_n$을 구하고 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n$의 합을 구하시오.

(문제 1-5) 함수 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속일 때, 함수 $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle a$에서 $\displaystyle b$까지의 정적분 $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$의 정의를 쓰고, 이 정의를 이용하여 다음 극한값을 구하시오.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\pi^2}{n^2}\left(\cos\frac{\pi}{2n}+2\cos\frac{2\pi}{2n}+3\cos\frac{3\pi}{2n}+\cdots+n\cos\frac{n\pi}{2n}\right)$

(문제 1-6) 가로길이가 8이고 세로길이가 4인 직사각형의 내부에 아래 그림과 같이 세 포물선이 그려져 있다. 세 포물선의 꼭짓점은 각각 직사각형의 윗변에 접해 있으며 각 포물선의 축은 모두 수직이다. 직사각형의 수직이등분선을 기준으로 주어진 도형들이 대칭일 때, 아래 영역 A의 넓이를 구하시오.