자연계열 1번

계산의 편의를 위해 아래 부정적분을 먼저 계산한다.$\displaystyle \begin{aligned}\int\sin x\,e^x\,dx&=\sin x\,e^x-\int\cos x\,e^x\,dx\\&=\sin x\,e^x-\left(\cos x\,e^x+\int\sin x\,e^x\,dx\right)\\&=\sin x\,e^x-\cos x\,e^x-\int\sin x\,e^x\,dx\end{aligned}$

양변에 $\displaystyle \int\sin x\,e^x\,dx$을 더하면$\displaystyle 2\int\sin x\,e^x\,dx=\sin x\,e^x-\cos x\,e^x$이고, 양변을 2로 나누어 부정적분 값을 얻는다. (적분상수 생략)$\displaystyle \int\sin x\,e^x\,dx=\frac{(\sin x-\cos x)e^x}{2}$

위의 부정적분을 사용하여 주어진 정적분을 계산하자.$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}f(x)e^x\,dx&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}|\sin x|e^x\,dx\\&=-\int_{-\pi/2}^0\sin x\,e^x\,dx+\int_0^{\pi/2}\sin x\,e^x\,dx\\&=-\left.\frac{(\sin x-\cos x)e^x}{2}\right|_{-\pi/2}^0+\left.\frac{(\sin x-\cos x)e^x}{2}\right|_0^{\pi/2}\\&=\frac12-\frac{e^{-\pi/2}}2+\frac{e^{\pi/2}}2+\frac12\\&=1+\frac{e^{\pi/2}-e^{-\pi/2}}2\end{aligned}$그러므로 $\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}f(x)e^x\,dx=1+\frac{e^{\pi/2}-e^{-\pi/2}}2$이다.