자연계열 2번

(문제 2-1) (해설-1) 오른쪽 그림과 같이 점 $\displaystyle P(x_1,y_1)$에서 $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축에 각각 평행한 직선을 그어 직선 $\displaystyle l:ax+by+c=0\ (a\ne0,b\ne0)$과 만나는 점을 각각 $\displaystyle A,B$라 하자. 이때 점 $\displaystyle A$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -\frac{by_1+c}{a}$이고, 점 $\displaystyle B$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle -\frac{ax_1+c}{b}$이다.

따라서$\displaystyle \overline{AP}=\left|x_1-\left(-\frac{by_1+c}{a}\right)\right|=\left|\frac{ax_1+by_1+c}{a}\right|$$\displaystyle \overline{BP}=\left|y_1-\left(-\frac{ax_1+c}{b}\right)\right|=\left|\frac{ax_1+by_1+c}{b}\right|$이고 직각삼각형 APB의 넓이에서$\displaystyle \overline{AB}\times\overline{PH}=\overline{AP}\times\overline{BP}$이므로 피타고라스 정리에 의해서$\displaystyle \sqrt{\overline{AP}^2+\overline{BP}^2}\times\overline{PH}=\overline{AP}\times\overline{BP}$이다.

이때 $\displaystyle ax_1+by_1+c=k$라 하면 $\displaystyle \overline{AP}=\left|\frac{k}{a}\right|,\ \overline{BP}=\left|\frac{k}{b}\right|$이므로$\displaystyle \begin{gathered}\sqrt{\frac{k^2}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}}\times\overline{PH}=\left|\frac{k}{a}\right|\times\left|\frac{k}{b}\right|\\\Rightarrow\ \frac{|k|\sqrt{a^2+b^2}}{|ab|}\times\overline{PH}=\frac{k^2}{|ab|}\\\Rightarrow\ \sqrt{a^2+b^2}\times\overline{PH}=|k|\end{gathered}$Comment. 위 계산은 $\displaystyle k\ne0$일 때 성립한다. $\displaystyle k=0$이면 점 $\displaystyle P$가 직선 위에 있으므로 거리는 $\displaystyle 0$이고, 이때도 같은 공식이 성립한다.이다. 따라서 $\displaystyle \overline{PH}=\frac{|k|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$이다.

(문제 2-2)$\displaystyle p$가 $\displaystyle q$이기 위한 필요조건이므로 $\displaystyle p$의 진리집합 $\displaystyle P$와 $\displaystyle q$의 진리집합 $\displaystyle Q$는 아래를 만족한다.$\displaystyle \{x\in\mathbb{R}:-1\leq x\leq3\}=Q\subset P=\{x\in\mathbb{R}:-\sqrt n\leq x\leq\sqrt n\}$그러므로 $\displaystyle 3\leq\sqrt n$이다. 즉, $\displaystyle 9\leq n$이고 $\displaystyle n$는 한 자리의 자연수이므로 9이다.원과 직선 사이의 최소 거리는 원의 중심과 직선 사이의 거리에서 반지름을 빼서 구할 수 있다 (아래 그림 참조).

원의 중심 $\displaystyle (n,0)$과 직선 $\displaystyle 3x+4y+3=0$ 사이의 거리는 아래와 같다.$\displaystyle r+d=\frac{3n+3}{\sqrt{3^2+4^2}}$위의 계산에서 $\displaystyle n=9$, 단위원의 반지름 $\displaystyle r=1$이므로 최소 거리 $\displaystyle d=\frac{27+3}{5}-1=5$이다.