자연계열 1번

연세대 미래캠퍼스 2023학년도 예시문제 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/yonsei_mirae/2023ye/jayeon_1

【문제 1】아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 각 항을 차례로 덧셈기호 $\displaystyle +$ 로 연결한 식 $\displaystyle a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots$ 을 급수라고 하며, 이것을 $\displaystyle \sum$ 를 사용하여 기호로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 과 같이 나타낸다.

급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 에서 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합 $\displaystyle S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^na_k$ 를 이 급수의 제 $\displaystyle n$ 항까지의 부분합이라고 한다.

급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 의 부분합으로 이루어진 수열 $\displaystyle \{S_n\}$ 이 일정한 값 $\displaystyle S$ 에 수렴할 때, 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 은 $\displaystyle S$ 에 수렴한다고 하고 수열 $\displaystyle \{S_n\}$ 이 발산할 때, 이 급수는 발산한다고 한다.

[문제 1-1] 곡선 $\displaystyle f(x)=\frac3{e^x}$ 위의 점 $\displaystyle (1,\frac3e)$ 에서 접하는 접선과 $\displaystyle x$ 축이 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{P}$ 라 할 때, 세 점 $\displaystyle (1,\frac3e)$ , $\displaystyle (1,0)$ , $\displaystyle \mathrm{P}$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하시오.

[문제 1-2] 곡선 $\displaystyle f(x)=\frac3{e^x}$ 위의 점 $\displaystyle (k,\frac3{e^k})$ 에서 접하는 접선과 $\displaystyle x$ 축이 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{P}_k$ 라 하자. 세 점 $\displaystyle (k,\frac3{e^k})$ , $\displaystyle (k,0)$ , $\displaystyle \mathrm{P}_k$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 $\displaystyle \mathrm{A}_k(k=1,2,\cdots,n)$ 라고 할 때, $\displaystyle \sum_{k=1}^n\mathrm{A}_k$ 를 구하시오.

[문제 1-3] 급수 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\mathrm{A}_k$ 의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하시오.

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