자연계열 1번

적분의 기본 개념 및 원리는 17세기 뉴턴과 라이프니쯔에 의해 독립적으로 체계화되었고, 적분에 관한 엄밀한 수학적 정의는 코오시와 리이만이 극한의 개념을 도입함으로써 완성되었다. 적분의 기본 원리인 구분구적법은 어떤 도형의 넓이나 부피를 구할 때, 그 도형을 여러 개의 간단한 도형으로 세분하여 이들 도형의 넓이나 부피의 합을 구한 후, 이 합의 극한값으로 원래 도형의 넓이나 부피를 구하는 방법이다. 폐구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$에 대해서 정적분을 다음과 같이 구분구적법의 형태로 정의할 수 있다.$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x\qquad\left(\Delta x=\frac{b-a}{n}\right)$다음 (가)와 (나)는 적분의 기본 개념 및 원리를 바탕으로 유도한 결과이다.

(가) 함수 $\displaystyle f(x)$가 폐구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속일 때, 다음 등식이 성립하는 $\displaystyle p_1,p_2,p_3$ 와 $\displaystyle q_1,q_2,q_3,q_4$가 무한히 많이 존재한다.㉠ $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(p_1 f(x_{2k})+p_2 f(x_{2k-1})+p_3 f(x_{2k-2})\right)\Delta x\quad\left(\Delta x=\frac{b-a}{2n}\right)$㉡ $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(q_1 f(x_{3k})+q_2 f(x_{3k-1})+q_3 f(x_{3k-2})+q_4 f(x_{3k-3})\right)\Delta x\quad\left(\Delta x=\frac{b-a}{3n}\right)$

(나) 오른쪽 그림과 같이 폐구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속 함수 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=mx+c\quad(m\ne0)$가 주어질 때, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 세 직선 $\displaystyle y=mx+c,\ y=-\frac1m(x-a)+f(a),\ y=-\frac1m(x-b)+f(b)$로 둘러싸인 넓이를 구하고자 한다. 오른쪽 그림과 같이 색칠된 부분의 사다리꼴 도형의 넓이의 합을 $\displaystyle S_n$이라 할 때, 다음 등식이 성립한다.

㉢ $\displaystyle S_n=\frac1{1+m^2}\sum_{k=1}^n\left(\frac{f(x_k)+f(x_{k-1})}{2}-m\frac{x_k+x_{k-1}}2-c\right)\left(1+m\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{\Delta x}\right)\Delta x$따라서 적분의 개념으로부터 다음과 같은 간단한 공식을 얻게 된다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\frac1{1+m^2}\int_a^b(f(x)-mx-c)(1+mf^{\prime}(x))\,dx$Comment. 이 식을 넓이로 해석하려면 그림처럼 사다리꼴의 높이와 밑변 방향이 유지되어야 한다. 마지막 적분식에서는 $\displaystyle f$의 미분가능성도 필요하다.