의치계열 1번

정의: 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle [x]$는 $\displaystyle x$보다 크지 않은 최대 정수를 나타낸다. 함수 $\displaystyle f(x)$가 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)=f(2a-x)$가 성립할 때 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에 대하여 우함수라 하고, $\displaystyle f(x)=-f(2a-x)$가 성립할 때 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에 대하여 기함수라고 정의한다.실수에서 정의된 함수 수열 $\displaystyle f_n(x)$를 다음과 같이 정의하자.㉠ $\displaystyle f_0(x)=(-1)^{[x]},\ f_{2n}(x)=\int_0^x f_{2n-1}(t)\,dt,\ f_{2n+1}(x)=\int_{\frac12}^x f_{2n}(t)\,dt\quad(n=0,1,2,\cdots)$Caution. 수열을 정의할 때는 초기항에서도 정의가 성립하는지 확인해야 한다: $\displaystyle f_{2n}$을 정의하는 적분식은 $\displaystyle n=1,2,\ldots$일 때 적용해야 한다. $\displaystyle n=0$을 대입하면 정의되지 않은 $\displaystyle f_{-1}$이 나타난다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이때 $\displaystyle f_0(x)$, $\displaystyle f_1(x)$, $\displaystyle f_2(x)$는 다음 그림과 같고, 구간 $\displaystyle [0\ 1)$에서 $\displaystyle f_0(x)=1, f_1(x)=x-\frac12, f_2(x)=\frac{x^2}{2}-\frac x2$ 이다.

일반적으로 함수 $\displaystyle f_n(x)$는 구간 $\displaystyle [0\ 1)$에서 $\displaystyle n$차 다항식이 되며, 이를 $\displaystyle P_n(x)$라 두자. ㉠으로부터 $\displaystyle P_0(x)=1$ 이고 $\displaystyle \frac{d}{dx}P_n(x)=P_{n-1}(x)$이다.그리고 $\displaystyle a_0=1$ 이라 두자. 이때 $\displaystyle \frac{d}{dx}P_1(x)=P_0(x)=a_0$이므로 $\displaystyle P_1(x)=a_0x+a_1$의 꼴이 되고, $\displaystyle \frac{d}{dx}P_2(x)=P_1(x)=a_0x+a_1$이므로 $\displaystyle P_2(x)=\frac{a_0}{0!}\frac{x^2}{2!}+\frac{a_1}{1!}\frac x{1!}+\frac{a_2}{2!}\ (\text{단 }0!=1)$의 꼴로 표현될 수 있다. 일반적으로 다항식 $\displaystyle P_n(x)$는 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다.㉡ $\displaystyle P_n(x)=\frac{a_0}{0!}\frac{x^n}{n!}+\frac{a_1}{1!}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{a_2}{2!}\frac{x^{n-2}}{(n-2)!}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{(n-1)!}\frac{x}{1!}+\frac{a_n}{n!}\quad(n=0,1,2,\cdots)$그리고 ㉠으로부터 다음 등식이 성립한다.㉢ $\displaystyle P_{2n}(0)=0,\quad P_{2n+1}\left(\frac12\right)=0\quad(n=1,2,\cdots)$