자연계열 II 1번

(가) 병을 낫기 위해 병원에 입원했다가 각종 항생제에 내성을 보이는 박테리아에 감염된 경우가 잇따르고 있어 병원감염에 관한 불안이 확산되고 있다. 어떤 보고서에 따르면 항생제 내성 박테리아에 의한 병원감염은 환자와 환자간의 신체 접촉에 의해 직접적으로 전파되기보다는, 병원 내에서 의료진의 손이나 병원 환경을 통해서 전파된다고 한다. 그리고 병원 내 항생제 내성 박테리아 감염율은 병원 내 총 박테리아의 양과 밀접히 관련되어 있다고 한다. 병원 환경에서 박테리아의 총 양의 변화를 정량적으로 분석하기 위하여 여러 수학모델이 제시되었다.

(나) 이 제시문에서는 감염된 환자 개인별로 박테리아의 개체수의 변화를 단위 시간별로 추적하는 수학 모델을 소개하고자 한다. 박테리아가 인체에 침투했을 때 박테리아의 양을 $\displaystyle a_0$로 표시하고, 침투 후 $\displaystyle n$시간이 경과한 후 박테리아의 양을 $\displaystyle a_n$로 표시하자. 이때, 수열 $\displaystyle \{a_n\}$에 관하여 다음 조건이 성립한다고 가정하자.㉠ $\displaystyle a_{n+1}=a_n+\beta a_n(K-a_n),\quad n=0,1,2,\cdots$여기서 $\displaystyle K$는 환자의 몸 안에서 생존할 수 있는 개체수의 정원을 의미하는 양의 상수이고, $\displaystyle \beta$는 박테리아의 증가율과 관련 있는 양의 상수이다. (※ 단, $\displaystyle a_n$은 개체수를 표현함으로 자연수이여야 하나 계산의 편의상 실수라고 하자.) 이 모델은 비현실적인 가정에 근거하고 있으나 박테리아 개체수 변화의 기본 모델로서 이용되어 많은 성과를 얻었다.

(다) 수리모델 ㉠에서 $\displaystyle \beta$가 $\displaystyle 0<\beta<\frac1{2K}$ 일 때 개체수의 변화를 살펴보자. 초기 개체수 $\displaystyle a_0$가 $\displaystyle K<a_0<2K$이면 개체수가 $\displaystyle K$가 될 때까지 감소하고, 초기 개체 수 $\displaystyle a_0$가 $\displaystyle 0<a_0<K$이면 개체수가 $\displaystyle K$가 될 때까지 증가한다.