자연계열 I 1번

[문제 1] 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (40점)

함수 $\displaystyle f(x)$의 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$가 폐구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고, $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 [그림 1]과 같을 때, 다음 물음에 답하시오.

[문제 1-1] 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점$\displaystyle (a,f(a))$부터 점$\displaystyle (b,f(b))$까지의 곡선의 길이를 정적분의 정의를 이용하여 구하시오. (10점)

[문제 1-2] [그림 2]는 [그림 1]의 폐구간 $\displaystyle [a,b]$를 $\displaystyle 2n$개의 균등한 소구간으로 나눈 그래프이다. 이때, 점$\displaystyle (x_{2k-1},f(x_{2k-1}))$에서의 접선의 식을 $\displaystyle y=g_k(x)$라 하자. 접선 위의 점$\displaystyle (x_{2k-2},g_k(x_{2k-2}))$와 점 $\displaystyle (x_{2k},g_k(x_{2k}))$ 사이의 거리를 $\displaystyle l_k$라고 할 때 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n l_k$의 값을 구하시오. (20점)

[문제 1-3] 위의 [1-1]과 [1-2]의 결과를 비교 분석하고, [1-1]과 같은 결론을 유도할 수 있는 다른 방법에 대하여 논하시오. (10점)