자연계열 1번

※다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

[제시문 1]

[1-1] $\displaystyle C_1$의 중심의 좌표와 $\displaystyle C_1$과 쌍곡선 $\displaystyle y^2-x^2=1$이 접하는 점의 좌표를 구하시오. [5점]

[1-2] 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle r_{n+1}$, $\displaystyle r_n$, $\displaystyle r_{n-1}$ 사이의 관계식으로 수열 $\displaystyle \{r_n\}$의 점화식을 구하시오. [10점]

[1-3] 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle C_n$의 중심의 $\displaystyle x$좌표와 $\displaystyle C_n$과 쌍곡선 $\displaystyle y^2-x^2=1$이 접하는 점의 $\displaystyle x$좌표는 자연수임을 보이시오. [10점]Comment. [1-3]은 원의 중심과 쌍곡선 접점의 $\displaystyle x$좌표가 모두 자연수라는 주장이 성립하지 않는 출제 오류 문항이다. $\displaystyle C_2=C_0$으로 택하면 $\displaystyle C_1$과 $\displaystyle (1,0)$에서 접하고 쌍곡선의 두 가지와도 접하므로 주어진 조건을 만족한다. 이때 $\displaystyle C_2$의 중심과 쌍곡선 접점의 $\displaystyle x$좌표는 모두 $\displaystyle 0$이다. 두 원의 접점이 $\displaystyle x>0$에 있어야 한다는 조건만으로는 원의 중심이 오른쪽으로 이동한다고 할 수 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.