자연계열 2번

[가] 두 벡터 $\displaystyle \vec u=(0,0,1)$와 $\displaystyle \vec v=(0,1,0)$가 주어졌을 때, 원점 $\displaystyle O=(0,0,0)$을 지나고 벡터 $\displaystyle \vec w=(\cos\alpha)\vec u+(\sin\alpha)\vec v$ 에 평행한 직선을 $\displaystyle l$이라고 하자. 단, $\displaystyle \alpha$는 $\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi2$인 상수이다.

[나] 공간의 임의의 점 $\displaystyle P$에 대하여 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{OP}$ 와 $\displaystyle \vec w$가 이루는 각을 $\displaystyle \theta\ (0\leq\theta\leq\pi)$ 라고 하자. 점 $\displaystyle P$는 직선 $\displaystyle l$을 축으로 회전하여 시각 $\displaystyle t$에는 원래 위치로부터 $\displaystyle 2\pi t$ 만큼 회전이동한다. 이 때, $\displaystyle P$가 회전이동한 점의 위치벡터를 $\displaystyle \vec r(t)$라고 하자.

[다] 집합 $\displaystyle T$를 다음과 같이 정의한다.$\displaystyle T=\{t\in[0,1)\mid\vec r(t)\cdot\vec v\leq0\}$실수 $\displaystyle t$에 좌표평면 위의 점 $\displaystyle (\cos2\pi t,\sin2\pi t)$를 대응시킬 때, $\displaystyle T$에 대응하는 호의 길이를 $\displaystyle L$이라고 하자.