자연계열 1번

연세대 신촌캠퍼스 2016학년도 수시 자연계열 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/yonsei_sinchon/2016su/jayeon_1

※다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

[제시문 1]

[가] 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 집합 $\displaystyle A_n$ 을 $\displaystyle A_n=\left\{\frac0{2^n},\frac1{2^n},\frac2{2^n},\cdots,\frac{2^n-1}{2^n}\right\}$ 이라 하자.

[나] $\displaystyle A_n$ 의 임의의 원소 $\displaystyle x$ 가 주어졌을 때, 0 또는 1의 값을 가지는 수열 $\displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_n$ 이 존재하여 항상 $\displaystyle x=\frac{a_1}{2^1}+\frac{a_2}{2^2}+\cdots+\frac{a_n}{2^n}$ 으로만 표현되어진다. 이 때, 함수 $\displaystyle f_j:A_n\to\{0,1\}$ 을 $\displaystyle f_j(x)=a_j$ 로 정의하자. $\displaystyle (j=1,2,\cdots,n)$

[다] $\displaystyle A_n$ 을 정의역으로 가지는 함수 $\displaystyle g_j$ 를 $\displaystyle g_j(x)=2f_j(x)-1$ 로 정의한다.

[1-1] 집합 $\displaystyle \{x\in A_n\mid f_1(x)=1\}$ 의 원소의 개수를 구하시오. [5점]

[1-2] $\displaystyle n=10$ 일 때, 집합 $\displaystyle \{x\in A_{10}\mid f_1(x)+f_2(x)+\cdots+f_6(x)=4\}$ 의 원소의 개수를 구하시오. [5점]

[1-3] $\displaystyle n=3$ 일 때, 함수 $\displaystyle g_j$ 의 그래프 $\displaystyle \{(x,g_j(x))\mid x\in A_3\}$ 에 대하여 $\displaystyle j=1,2$ 인 경우의 그래프를 좌표평면 위에 각각 나타내시오. [5점]

[1-4] $\displaystyle m$ 이 $\displaystyle n$ 보다 작거나 같은 자연수일 때, 다음 값을 구하시오. [10점] $\displaystyle \sum_{k=1}^{2^n}\left\{g_1\left(\frac{k-1}{2^n}\right)+g_2\left(\frac{k-1}{2^n}\right)+\cdots+g_m\left(\frac{k-1}{2^n}\right)\right\}^2$

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