자연계열 3번

※다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

[제시문 3]

[3-1] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle f(1)=k$이고, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}f\left(\frac1{2^n}\right)=f(0)$을 만족시킨다. 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle f\left(\frac1{2^n}\right)=\left(1-\frac1{(n+1)^2}\right)\cdot f\left(\frac1{2^{n-1}}\right)$일 때, $\displaystyle f(0)$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle k$는 상수이다.) [8점]

[3-2] 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g(x)\geq0$인 함수 $\displaystyle g(x)$가 다음 두 조건을 만족시킨다.(가) 모든 실수 $\displaystyle x_1$, $\displaystyle x_2$에 대하여 $\displaystyle x_1<x_2$이면 $\displaystyle g(x_1)\leq g(x_2)$이다.(나) 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle g\left(\frac1{2^n}\right)\leq\frac{n}{2(n+1)}\cdot g\left(\frac1{2^{n-1}}\right)$이다.

[3-2-1] $\displaystyle g(0)$의 값을 구하시오. [4점]

[3-2-2] $\displaystyle \lim_{m\to\infty}\frac{g\left(\frac1m\right)-g(0)}{\frac1m}$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle m$은 자연수이다.) [8점]