자연계열 3번

[문제 3]

좌표평면 위에 $\displaystyle x$축과 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \theta\left(0\leq\theta\leq\frac\pi2\right)$인 점 $\displaystyle P$와 원점 $\displaystyle O$에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow{OP}$의 단위벡터를 $\displaystyle \overrightarrow{e(\theta)}=(\cos\theta,\sin\theta)$로 나타내자. 각 $\displaystyle \theta$와 자연수 $\displaystyle N$에 대하여 좌표평면 위의 영역 $\displaystyle R_N(\theta)$를 다음과 같이 정의한다.

$\displaystyle R_N(\theta)=\left\{(x,y)\,\middle|\,\left|(x,y)\cdot\overrightarrow{e(\theta)}\right|\leq\frac N2,\ \left|(x,y)\cdot\overrightarrow{e\left(\theta+\frac\pi2\right)}\right|\leq\frac1{2N}\right\}$

(단, $\displaystyle N$은 10 이상인 자연수이고, $\displaystyle A(R_N(\theta))$는 영역 $\displaystyle R_N(\theta)$의 넓이를 나타낸다.)

[문제 3-1]$\displaystyle A\left(R_{10}\left(\frac\pi6\right)\right)$의 값을 구하시오. [5점]

[문제 3-2]영역 $\displaystyle R_N(\theta)$과 영역 $\displaystyle R_N(0)$의 공통부분을 $\displaystyle R_N(\theta)\cap R_N(0)$라 할 때, 이 공통부분의 넓이 $\displaystyle A(R_N(\theta)\cap R_N(0))$를 $\displaystyle N$과 $\displaystyle \theta$로 나타내시오. (단, $\displaystyle \theta\geq\frac1N$) [10점]

[문제 3-3]극한값 $\displaystyle \lim_{N\to\infty}\sum_{k=1}^{N}\frac1{A\left(R_N\left(\frac kN\right)\cap R_N(0)\right)N^3}$을 구하시오. [10점]