자연계열 2번

$\displaystyle T(a)$를 중심각이 $\displaystyle \theta$, 선분 $\displaystyle \overline{AB}$의 길이, $\displaystyle l(a)$를 호 $\displaystyle \widehat{DA}$의 길이, 선분 $\displaystyle OA$의 연장선이 점 $\displaystyle D$에서의 수선과 만나는 점을 $\displaystyle C$라고 했을 때 $\displaystyle h(a)$를 선분 $\displaystyle \overline{CD}$의 길이라고 하자. 그러면 (그림으로부터) $\displaystyle T(a)<l(a)<h(a)$이다. 삼각형 $\displaystyle \triangle OAB$와 $\displaystyle \triangle OCD$의 닮음비로부터 $\displaystyle \frac{h(a)}1=\frac{T(a)}{1-a}$을 얻는다 :$\displaystyle h(a)=\frac{T(a)}{1-a}$ ------- (1)또한 $\displaystyle 0<a<1$이고$\displaystyle T(a)=\sqrt{1-(1-a)^2}=\sqrt{2a-a^2}=\sqrt a\sqrt{2-a}$ ---------(2)따라서 $\displaystyle N(a)$는 부등식 $\displaystyle \frac{2\pi}{2h(a)}\leq\frac{2\pi}{2l(a)}\leq N(a)\leq\frac{2\pi}{2T(a)}$을 만족하고, 이를 간단히 하면 $\displaystyle \frac\pi{h(a)}\leq N(a)\leq\frac\pi{T(a)}$을 얻는다. Comment. $\displaystyle k>\frac12$라는 결론은 같지만, 직사각형의 개수는 정수이므로 $\displaystyle N(a)\leq\frac\pi{T(a)}$ 대신 $\displaystyle N(a)\leq\frac\pi{T(a)}+1$로 잡아야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

여기에서 식(1)과 (2)를 적용하면$\displaystyle \frac{\pi(1-a)}{\sqrt a\sqrt{2-a}}\leq N(a)\leq\frac\pi{\sqrt a\sqrt{2-a}}$.그러므로$\displaystyle \frac{\pi(1-a)}{\sqrt a\sqrt{2-a}}a^k\leq N(a)a^k\leq\frac\pi{\sqrt a\sqrt{2-a}}a^k$$\displaystyle \longrightarrow\quad\frac{\pi(1-a)}{\sqrt{2-a}}a^{k-\frac12}\leq N(a)a^k\leq\frac\pi{\sqrt{2-a}}a^{k-\frac12}$.여기서 $\displaystyle \lim_{a\to0}N(a)a^k=0$이 성립하려면 부등식의 양 끝이 $\displaystyle 0$으로 수렴해야 하므로, 즉,$\displaystyle \lim_{a\to0}\frac{\pi(1-a)}{\sqrt{2-a}}a^{k-\frac12}=0$이고 $\displaystyle \lim_{a\to0}\frac\pi{\sqrt{2-a}}a^{k-\frac12}=0$이어야 하므로, $\displaystyle k>\frac12$이어야 한다.