자연계열 1번

이차곡선

(가) 타원과 포물선은 이차곡선이다. 좌표평면에서 이 곡선들을 나타내는 방정식은 $\displaystyle x,y$에 관한 이차방정식이 된다. 원뿔을 다양한 각도의 평면으로 잘랐을 때에도 이 곡선들이 나타난다. 이차곡선에는 이 외에도 쌍곡선이 있다.타원과 포물선의 기하학적인 정의는 다음과 같다.

타원: 두 정점으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 집합을 타원이라 하고, 두 정점을 이 타원의 초점이라 한다.

포물선: 한 정점과 한 정직선으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합을 포물선이라 하고, 정점과 정직선을 각각 포물선의 초점과 준선이라 한다.

이차곡선과 한 점에서 만나는 직선을 이 이차곡선의 접선이라고 한다. (단, 포물선의 경우에는 준선에 수직인 직선은 제외한다.) 이차곡선 위의 각 점마다 이 점을 지나는 유일한 접선이 존재한다.Caution. 곡선과 직선이 한 점에서만 만난다고 해서 그 직선이 접선인 것은 아니다. 접선도 접점 이외의 점에서 곡선과 만날 수 있다: 제시문 (가)는 포물선에서 준선에 수직인 직선을 제외했다. 이 설명을 쌍곡선에까지 적용할 수는 없다. 쌍곡선 $\displaystyle xy=1$과 직선 $\displaystyle x=1$은 $\displaystyle (1,1)$에서만 만나지만, 그 점에서의 접선은 $\displaystyle y=2-x$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(나) 한 직선이 있고, 그 직선에 대해 같은 쪽에 두 개의 점이 있다. 그 중 한 점으로부터 직선 위의 점을 거쳐 다른 점까지에 이르는 최단경로에 대해 생각해 보자. 이 최단경로를 구하는 방법은 다음과 같다.

직선 $\displaystyle \ell$과 이 직선에 대해 같은 쪽에 있는 두 점 $\displaystyle A,B$가 주어져 있다. 직선 $\displaystyle \ell$에 대해 점 $\displaystyle B$와 대칭인 점을 $\displaystyle B^{\prime}$이라 하고, 선분 $\displaystyle AB^{\prime}$이 직선 $\displaystyle \ell$과 만나는 점을 $\displaystyle P$라 하자. 그러면, $\displaystyle A$에서 $\displaystyle P$를 거쳐 $\displaystyle B$까지 가는 것이 구하는 최단경로가 된다. 이를 증명하기 위해 직선 $\displaystyle \ell$ 위의 임의의 점을 $\displaystyle Q$라 하면$\displaystyle \overline{AQ}+\overline{QB}=\overline{AQ}+\overline{QB^{\prime}}>\overline{AB^{\prime}}=\overline{AP}+\overline{PB^{\prime}}=\overline{AP}+\overline{PB}$Comment. $\displaystyle Q=P$이면 등호가 성립하므로, 부등호 $\displaystyle >$를 쓰려면 $\displaystyle Q\ne P$라는 조건이 필요하다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. 따라서 $\displaystyle \overline{AP}+\overline{PB}$가 최단경로가 된다. 이때, 직선 $\displaystyle \ell$에 대해 선분 $\displaystyle AP$가 이루는 각과 선분 $\displaystyle BP$가 이루는 각이 같아지는데, 그 이유는 직선 $\displaystyle \ell$에 대해 선분 $\displaystyle AP$와 선분 $\displaystyle B^{\prime}P$가 이루는 각이 맞꼭지각으로 같고, 직선 $\displaystyle \ell$에 대해 선분 $\displaystyle BP$와 선분 $\displaystyle B^{\prime}P$가 이루는 각이 대칭에 의해 같기 때문이다.