자연계열 2번

[문제 2-1] 점화식으로부터 일반항은 0이 될 수 없음을 알 수 있다. 점화식의 양변을 $\displaystyle a_na_{n+1}$으로 나누면 $\displaystyle \frac1{a_{n+1}}-\frac1{a_n}=2^n+3^n$ 을 얻는다. 즉, 수열 $\displaystyle \left\{\frac1{a_n}\right\}$의 계차수열의 일반항을 얻는다. 〈제시문 가〉에 따라 $\displaystyle n\ge2$ 에 대하여$\displaystyle \frac1{a_n}=\frac1{a_1}+\sum_{k=1}^{n-1}(2^k+3^k)=1+\frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}+\frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}=2^n+\frac{3^n}2-\frac52$즉 $\displaystyle a_n=\frac2{2^{n+1}+3^n-5}$ 를 얻는다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+2}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac2{2^{n+3}+3^{n+2}-5}}{\frac2{2^{n+1}+3^n-5}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}+3^n-5}{2^{n+3}+3^{n+2}-5}\equiv\lim_{n\to\infty}\frac{2\left(\frac23\right)^n+1-\left(\frac5{3^n}\right)}{8\left(\frac23\right)^n+9-\left(\frac5{3^n}\right)}=\frac19$

[문제 2-2] 피보나치 수열의 점화식으로부터$\displaystyle \frac{f_{n+1}}{f_nf_{n+2}}=\frac{f_{n+2}-f_n}{f_nf_{n+2}}=\frac1{f_n}-\frac1{f_{n+2}}$ 을 얻는다.이로부터 주어진 무한급수의 부분합에 대한 다음 식을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\sum_{k=1}^n\frac{f_{k+1}}{f_kf_{k+2}}=\sum_{k=1}^n\left(\frac1{f_k}-\frac1{f_{k+2}}\right)\\&=\left(\frac1{f_1}-\frac1{f_3}\right)+\left(\frac1{f_2}-\frac1{f_4}\right)+\cdots+\left(\frac1{f_{n-1}}-\frac1{f_{n+1}}\right)+\left(\frac1{f_n}-\frac1{f_{n+2}}\right)\\&=\frac1{f_1}+\frac1{f_2}-\frac1{f_{n+1}}-\frac1{f_{n+2}}=2-\frac1{f_{n+1}}-\frac1{f_{n+2}}\end{aligned}$점화식으로부터 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}f_n=\infty$이고 무한급수의 합은 부분합의 극한이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=2$이다.

[문제 2-3] 문제 식의 좌변을 $\displaystyle L$, 우변을 $\displaystyle R$이라 하자. 〈제시문 다〉 비네의 공식을 이용하여 정리하면$\displaystyle \begin{aligned}(\beta-\alpha)^2L&=(\beta^{k-1}-\alpha^{k-1})(\beta^{2k}-\alpha^{2k})-(\beta-\alpha)(\beta^k-\alpha^k)\\&=\beta^{3k-1}+\alpha^{3k-1}-\alpha^{k-1}\beta^{k-1}(\beta^{k+1}+\alpha^{k+1})-\beta^{k+1}-\alpha^{k+1}+\alpha\beta(\beta^{k-1}+\alpha^{k-1})\end{aligned}$그리고$\displaystyle \begin{aligned}(\beta-\alpha)^2R&=(\beta^k-\alpha^k)(\beta^{2k-1}-\alpha^{2k-1})\\&=\beta^{3k-1}+\alpha^{3k-1}-\alpha^k\beta^k(\beta^{k-1}+\alpha^{k-1})\end{aligned}$한편, 이차방정식의 근과 계수와의 관계로부터 $\displaystyle \alpha\beta=-1$, 그리고 $\displaystyle k$는 짝수이므로 $\displaystyle \alpha^{k-1}\beta^{k-1}=-1$, $\displaystyle \alpha^k\beta^k=1$이 각각 성립한다.이를 이용하여 정리하면, 아래 식을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned}(\beta-\alpha)^2L&=\beta^{3k-1}+\alpha^{3k-1}+(\beta^{k+1}+\alpha^{k+1})-(\beta^{k+1}+\alpha^{k+1})-(\beta^{k-1}+\alpha^{k-1})\\&=\beta^{3k-1}+\alpha^{3k-1}-(\beta^{k-1}+\alpha^{k-1}),\\(\beta-\alpha)^2R&=\beta^{3k-1}+\alpha^{3k-1}-(\beta^{k-1}+\alpha^{k-1})\end{aligned}$두 식으로부터 $\displaystyle L=R$ 을 얻는다.

[문제 2-4] 1) 〈제시문 라〉에 의하면 황금비는 양수 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$가 식 $\displaystyle \frac{(a+b)}a=\frac ab$ 를 만족할 때 $\displaystyle \frac ab$의 값이다. $\displaystyle (a+b)b=a^2$ 에서 양변을 $\displaystyle b^2$으로 나누면 $\displaystyle \frac ab+1=\left(\frac ab\right)^2$ 을 얻게 되어 황금비는 이차 방정식 $\displaystyle t^2-t-1=0$ 의 양수 근임을 알 수 있다.2) 이제 황금비를 $\displaystyle \varphi$라 하면, $\displaystyle \varphi^2-\varphi-1=0$이 성립한다. 이 식의 양변을 $\displaystyle \varphi$로 나누면 $\displaystyle \varphi-\frac1\varphi=1$을 얻게 된다. 즉, 황금비와 황금비의 역수의 차는 1이다. 따라서 황금비와 황금비의 역수의 소수점 이하 값은 일치한다.

[문제 2-5] 정오각형의 한 각의 크기는 $\displaystyle 180^\circ\cdot(5-2)/5=108^\circ$이다. $\displaystyle \triangle ABC$는 이등변삼각형이므로 $\displaystyle \angle CAB=\angle BCA=(180^\circ-108^\circ)/2=36^\circ$. 이로부터 $\displaystyle \angle ACD=108^\circ-36^\circ=72^\circ$를 얻는다. 마찬가지로 $\displaystyle \angle ADC=72^\circ$이다. $\displaystyle \angle ACD$의 이등분선이 선분 $\displaystyle AD$와 만나는 점을 $\displaystyle P$라 하자. $\displaystyle \angle PCD$의 크기는 $\displaystyle 72^\circ/2=36^\circ$이다. 따라서 $\displaystyle \triangle ACD$와 $\displaystyle \triangle CDP$는 닮음이다.선분 $\displaystyle \overline{AC}$ 의 길이를 $\displaystyle x$라 하면 각의 이등분선의 성질에 의하여 $\displaystyle \overline{AP}:\overline{PD}=x:1$을 얻는다. 한편 $\displaystyle \overline{AP}+\overline{PD}=\overline{AD}=x$ 가 성립하므로 $\displaystyle \overline{PD}=\frac{x}{1+x}$ 를 얻는다. 닮은 삼각형의 성질로부터 $\displaystyle x:1=1:\frac{x}{1+x}$, 즉 $\displaystyle x^2-x-1=0$이 성립한다. 이 식을 풀면 $\displaystyle x=\frac{1+\sqrt5}2$ 를 얻는다.