의학계 1번

동일 문항

자연계열 1번

아주대 2015학년도 수시 의학계 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2015su/uihak_1

다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.

(가) 격자점이란 평면 위에서 $\displaystyle x,y$ 좌표가 모두 정수인 점을 의미한다. 격자다각형이란 모든 꼭짓점이 격자점인 다각형이다. 평행사변형인 격자다각형의 넓이는 비교적 쉽게 구할 수 있다. 원점 $\displaystyle O$ 와 세 격자점 $\displaystyle (a,b)$ , $\displaystyle (c,d)$ , $\displaystyle (a+c,b+d)$ 를 꼭짓점으로 하는 평행사변형 $\displaystyle P$ 의 넓이는 다음과 같은 간단한 계산을 통해 얻어진다. 만일 $\displaystyle (a,b)$ , $\displaystyle (c,d)$ 가 아래 그림처럼

주어지면 $\displaystyle P$ 의 넓이는 전체 사각형에서 바깥 부분의 넓이를 빼서 얻을 수 있으므로 $\displaystyle P$ 의 넓이 $\displaystyle =(a+c)(b+d)-2(\frac{ab}2+\frac{cd}2+bc)=ad-bc$ 이다. 보다 일반적으로 평행사변형 $\displaystyle P$ 의 넓이는 $\displaystyle |ad-bc|$ 으로 얻을 수 있다.

격자다각형의 넓이를 구하는 일반적인 방법으로 픽의 정리(Pick’s theorem)가 있다. 격자다각형 내부의 격자점 개수를 $\displaystyle I$ , 변 위의 격자점 개수를 $\displaystyle B$ 라 하면 다각형의 넓이 $\displaystyle S$ 는 $\displaystyle S=I+\frac B2-1$ 로 계산할 수 있다. 이때 다각형이 반드시 볼록 다각형일 필요는 없다. 예를 들어 아래와 같은 격자다각형은 내부에 6개의 격자점, 변 위에 11개의 격자점이 있으므로 그 넓이가 $\displaystyle \frac{21}2$ 이다.

픽의 정리를 활용하여 정삼각형은 격자다각형이 될 수 없음을 보이자. 정삼각형인 격자다각형이 있다고 가정하자. 이 도형의 한 변의 길이를 $\displaystyle a$ 라 하면 이 도형의 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt3}4a^2$ 이 되는데 격자삼각형이라는 사실로부터 $\displaystyle a^2$ 은 정수이다. 따라서 이 도형의 넓이는 무리수이다. 한편 픽의 정리에 따르면 모든 격자다각형의 넓이는 유리수이므로 모순이다. 결론적으로 정삼각형은 격자다각형이 될 수 없다.

(나) 평면 위의 두 격자점 $\displaystyle (a,b)$ , $\displaystyle (c,d)$ 를 생각하자. 이 두 격자점의 덧셈과 뺄셈을 다음과 같이 정의한다. $\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),\ (a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)$ 두 격자점을 유한 번 더하거나 빼서 평면 위의 모든 격자점을 표현할 수 있으면 이 두 격자점을 좋은 짝꿍이라고 하자. 즉, 임의의 격자점 $\displaystyle (x,y)$ 를 $\displaystyle m(a,b)+n(c,d)=(ma+nc,mb+nd)$ (단, $\displaystyle m,n$ 은 정수)로 표현할 수 있으면 두 격자점 $\displaystyle (a,b)$ , $\displaystyle (c,d)$ 는 좋은 짝꿍이 된다. 예를 들어, 두 격자점이 $\displaystyle (1,0)$ , $\displaystyle (0,1)$ 이면 임의의 격자점 $\displaystyle (x,y)$ 는 $\displaystyle x(1,0)+y(0,1)$ 로 표현할 수 있으므로 $\displaystyle (1,0)$ , $\displaystyle (0,1)$ 은 좋은 짝꿍이 된다. 하지만 두 격자점이 $\displaystyle (2,1)$ , $\displaystyle (2,2)$ 라면 이 두 점으로는 $\displaystyle (1,1)$ 을 표현할 수 없으므로 이 두 점은 좋은 짝꿍이 아니다.

이제 두 격자점 $\displaystyle (a,b)$ , $\displaystyle (c,d)$ 가 좋은 짝꿍이기 위한 필요충분조건을 찾아보자. 원점과 세 점 $\displaystyle (a,b)$ , $\displaystyle (c,d)$ , $\displaystyle (a+c,b+d)$ 를 꼭짓점으로 하는 평행사변형을 $\displaystyle P$ 라 하자. 원점에서 $\displaystyle (a,b)$ , $\displaystyle (c,d)$ 방향으로 두 직선을 긋고 이 두 직선과 평행하면서 같은 간격을 가지도록 여러 직선을 그어 평행사변형 $\displaystyle P$ 와 합동인 도형이 반복해서 나오도록 하자.

이때 각 평행사변형의 꼭짓점은 정확히 $\displaystyle m(a,b)+n(c,d)$ 꼴로 표현될 수 있음을 알 수 있고 이들 꼭짓점을 제외하고는 $\displaystyle m(a,b)+n(c,d)$ 로 표현될 수 있는 격자점은 없다. 따라서 두 격자점이 좋은 짝꿍일 필요충분조건은 $\displaystyle P$ 의 내부나 변에 네 꼭짓점을 제외한 다른 격자점이 존재하지 않는 것이다. 픽의 정리에 따르면 이러한 $\displaystyle P$ 의 넓이는 1이다. 따라서 (가)에 의하면, 두 격자점 $\displaystyle (a,b)$ , $\displaystyle (c,d)$ 가 좋은 짝꿍이 될 필요충분조건은 $\displaystyle |ad-bc|=1$ 이다.

한편 좋은 짝꿍인 두 격자점 $\displaystyle (a,b)$ , $\displaystyle (c,d)$ 에 대하여 일차변환 $\displaystyle F$ 의 행렬을 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$ 라 하자. 만일 또 다른 두 격자점 $\displaystyle (e,f)$ , $\displaystyle (g,h)$ 가 좋은 짝꿍이라면 이 두 격자점을 일차변환 $\displaystyle F$ 로 보내서 얻어지는 두 점 $\displaystyle (ae+cf,be+df)$ , $\displaystyle (ag+ch,bg+dh)$ 역시 $\displaystyle |(ae+cf)(bg+dh)-(be+df)(ag+ch)|=|(ad-bc)(eh-gf)|=1$ 을 만족하므로 좋은 짝꿍이 된다.

[문제 1-1] <15점> 두 격자점 $\displaystyle (6,5)$ 와 $\displaystyle (7,a)$ 가 좋은 짝꿍이라고 하자. $\displaystyle (6,5)$ 를 $\displaystyle m$ 번, $\displaystyle (7,a)$ 를 $\displaystyle n$ 번 더해 $\displaystyle (2015,b)$ 가 될 때, 가능한 $\displaystyle a+b$ 의 값 중 가장 큰 값을 구하라. (단, $\displaystyle m,n$ 은 0 이상의 정수)

[문제 1-2] <15점> 황금 삼각형이란 이등변삼각형 중 밑변과 밑변이 아닌 변사이의 길이의 비가 $\displaystyle 1:\varphi$ 인 것을 의미한다. 여기서 $\displaystyle \varphi$ 는 $\displaystyle x^2-x-1=0$ 의 양의 실수해로서 황금비로 불린다. 황금 삼각형이 격자다각형이 될 수 있는지 여부에 대하여 논하라.

[문제 1-3] <20점> 원점 $\displaystyle O$ 를 내부에 포함하고 넓이가 2인 격자 사각형 $\displaystyle ABCD$ 가 있다. 이때, 사각형 $\displaystyle ABCD$ 의 대각선 중 하나는 $\displaystyle O$ 를 지남을 보여라.Note. 모든 내각의 크기가 $\displaystyle 180^\circ$ 보다 작은 다각형을 볼록다각형이라 한다.Caution. 사각형이 반드시 볼록한 것은 아님에 주의해야 한다: 이 주장은 사각형이 볼록할 때 성립한다. 문제에는 볼록하다는 조건이 없으며, 같은 문제의 일반 자연계열 채점기준은 오목한 사각형의 반례를 들어 명제가 거짓임을 보인 답안을 만점으로 인정한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

해설강의 준비중

아주대 2015학년도 수시 의학계 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2015su/uihak_1

+5점 · [문제 1-1]

\displaystyle a=6

구하기

[문제 1-1] 두 격자점 $\displaystyle (6,5)$ 과 $\displaystyle (7,a)$ 는 좋은 짝꿍이므로 $\displaystyle 6a-35=\pm1$ 이 된다. $\displaystyle a$ 는 정수이므로 $\displaystyle a=6$ 이다.

+3점 · 식

\displaystyle 6m+7n=2015

\displaystyle 5m+6n=b

적기

$\displaystyle m(6,5)+n(7,6)=(2015,b)$ 이므로, $\displaystyle 6m+7n=2015$ , $\displaystyle 5m+6n=b$ 이다.

+7점 · 완성하기

따라서 $\displaystyle n=\frac{2015-6m}7$ 이 되고, $\displaystyle b=5m+6n=5m+6(\frac{2015-6m}7)=\frac{12090}7-\frac m7$ 이다. 따라서 $\displaystyle m$ 이 작을수록 $\displaystyle b$ 값이 증가하고, $\displaystyle b$ 는 정수이므로 $\displaystyle m=1$ 일 때 $\displaystyle b$ 의 최댓값은 1727이다. 따라서 $\displaystyle a+b=6+1727=1733$ .

+15점 · [문제 1-2] 논지가 옳고 황금 삼각형이 격자다각형이 될 수 없다는 결론을 얻은 경우 만점

[문제 1-2] $\displaystyle \varphi=\frac{1+\sqrt5}2$ 이다. 황금 삼각형의 밑변의 길이를 $\displaystyle a$ , 밑변이 아닌 변의 길이를 $\displaystyle b$ 라 하면, $\displaystyle b=\varphi a$ 가 성립하고, 이 삼각형의 높이는 $\displaystyle \sqrt{(\varphi a)^2-(a/2)^2}$ 이다. 따라서 이 도형의 넓이는 $\displaystyle \frac{a^2}2\sqrt{\varphi^2-\frac14}=\frac{a^2}2\sqrt{\varphi+\frac34}=\frac{a^2}4\sqrt{5+2\sqrt5}$ .이다. 만일 황금 삼각형이 격자다각형이라면 $\displaystyle a^2$ 은 정수이다. 한편, $\displaystyle q=\sqrt{5+2\sqrt5}$ 가 유리수라면 $\displaystyle \sqrt5=\frac{q^2-5}2$ 도 유리수이므로 모순이다. 따라서 $\displaystyle q$ 는 무리수이고, 이 도형의 넓이 또한 무리수이다. 한편 픽의 정리에 따르면 모든 격자 다각형의 넓이는 유리수이므로 모순이다. 따라서 격자다각형인 황금 삼각형은 존재하지 않는다.

+5점 · [문제 1-3] 꼭짓점 A, B, C, D와 O를 제외하고는 어떤 격자점도 도형의 내부나 변에 포함하지 않음을 적시함

[문제 1-3] 픽의 정리에 의하면 이 도형은 꼭짓점 $\displaystyle A,B,C,D$ 와 $\displaystyle O$ 를 제외하고는 어떤 격자점도 도형의 내부나 변에 포함하지 않는다.

+5점 · A와 B, B와 C, C와 D, D와 A는 모두 좋은 짝꿍이 됨을 확인함

따라서 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ , $\displaystyle B$ 와 $\displaystyle C$ , $\displaystyle C$ 와 $\displaystyle D$ , $\displaystyle D$ 와 $\displaystyle A$ 는 모두 좋은 짝꿍이다.

+5점 · 적절한 일차변환을 도입하여 네 점 중 두 점의 좌표를

\displaystyle (1,0)

\displaystyle (0,1)

로 가정할 수 있음을 설명함

$\displaystyle A,B,C,D$ 의 네 점을 차례대로 $\displaystyle (x_1,y_1),\ldots,(x_4,y_4)$ 라 두자. 한편 원점 $\displaystyle O$ 를 내부에 포함하므로 $\displaystyle x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i$ 의 값이 $\displaystyle i$ 와 상관없이 1 또는 -1로 항상 일정함을 알 수 있다. 일반성을 잃지 않고 이 값을 1이라 하자. 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix}x_1&x_2\\y_1&y_2\end{pmatrix}$ 의 역행렬은 $\displaystyle \frac1{x_1y_2-y_1x_2}\begin{pmatrix}y_2&-x_2\\-y_1&x_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_2&-x_2\\-y_1&x_1\end{pmatrix}$ 이고 이 행렬 역시 좋은 짝꿍과 연관된 행렬이다. 이 행렬로 나타나는 일차변환 $\displaystyle F$ 로 네 꼭짓점 $\displaystyle A,B,C,D$ 를 보내자.

+5점 · 나머지 두 점이 만족할 관계식을 얻고 이로부터 결론을 도출함

Comment. 이 풀이는 볼록 사각형을 전제로 한다. 오목한 사각형에서는 원점이 내부에 있다는 사실만으로 이어지는 행렬식의 부호가 모두 같다고 할 수 없다. 같은 문제의 일반 자연계열 채점기준은 오목한 경우의 반례를 제시한 답안도 정답으로 인정한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이때 네 점의 좌표는 각각 $\displaystyle (1,0)$ , $\displaystyle (0,1)$ , $\displaystyle (p,q)$ , $\displaystyle (r,s)$ 라 할 수 있고, 여전히 인접한 두 점의 계산 값이 1이므로 $\displaystyle p=-1,s=-1$ 이고, $\displaystyle ps-qr=1$ 임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle qr=0$ , 즉, $\displaystyle q$ 와 $\displaystyle r$ 중의 하나는 0이 되어야 한다. 이는 $\displaystyle F(A),O,F(C)$ , 혹은 $\displaystyle F(B),O,F(D)$ 이 직선상에 있음을 의미한다. 일차변환 $\displaystyle F$ 에 의해 직선으로 변환되는 도형은 직선이므로 사각형 $\displaystyle ABCD$ 의 대각선 중의 하나는 $\displaystyle O$ 를 지난다.

[문제 1-1] $\displaystyle a=6$ 을 구하는 과정에서 $\displaystyle 6a-35=\pm1$ 의 마이너스 부호가 빠진 경우 2점 감점.

[문제 1-2] 다음과 같은 경우 각 3점 감점 요인이 있음: $\displaystyle q$ 가 무리수인 이유가 빠진 경우, 격자다각형이므로 $\displaystyle a^2$ 이 정수라는 내용이 빠진 경우, 황금비 계산이 잘못된 경우, 넓이 또는 높이 계산식이 잘못된 경우.

황금 삼각형이 격자다각형이 될 수 있다는 결론을 얻은 경우 답안의 수준을 고려하여 3점 이내로 부여할 수 있음.

비고: $\displaystyle q$ 가 무리수인 이유가 황금비가 무리수라는 사실에 근거할 수 있음. 반드시 넓이의 고려가 필요한 것은 아니며 변의 길이의 제곱 간의 관계로도 풀이 가능.

[문제 1-3] $\displaystyle (1,0)$ , $\displaystyle (0,1)$ 대신 $\displaystyle (1,0)$ , $\displaystyle (0,-1)$ 로 시작할 수도 있음. (일차변환 도입과 같은) 근거 없이 단순화하는 경우 2점 감점.

특별한 경우로 한정하여 답안을 서술한 경우 합계 10점 이내 부여. 유한 개의 경우만 있다고 하는 경우 합계 8점 이내 부여하되 좋은 짝꿍을 보인 경우 13점 이내 부여.

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