자연계열 1번

[문제 1-1] 두 격자점 $\displaystyle (6,5)$과 $\displaystyle (7,a)$는 좋은 짝꿍이므로 $\displaystyle 6a-35=\pm1$이 된다. $\displaystyle a$는 정수이므로 $\displaystyle a=6$이다. $\displaystyle m(6,5)+n(7,6)=(2015,b)$이므로, $\displaystyle 6m+7n=2015$, $\displaystyle 5m+6n=b$이다. 따라서 $\displaystyle n=\frac{2015-6m}7$이 되고, $\displaystyle b=5m+6n=5m+6(\frac{2015-6m}7)=\frac{12090}7-\frac m7$이다. 따라서 $\displaystyle m$이 작을수록 $\displaystyle b$값이 증가하고, $\displaystyle b$는 정수이므로 $\displaystyle m=1$일 때 $\displaystyle b$의 최댓값은 1727이다. 따라서 $\displaystyle a+b=6+1727=1733$.

[문제 1-2] $\displaystyle \varphi=\frac{1+\sqrt5}2$이다. 황금 삼각형의 밑변의 길이를 $\displaystyle a$, 밑변이 아닌 변의 길이를 $\displaystyle b$라 하면, $\displaystyle b=\varphi a$가 성립하고, 이 삼각형의 높이는 $\displaystyle \sqrt{(\varphi a)^2-(a/2)^2}$이다. 따라서 이 도형의 넓이는$\displaystyle \frac{a^2}2\sqrt{\varphi^2-\frac14}=\frac{a^2}2\sqrt{\varphi+\frac34}=\frac{a^2}4\sqrt{5+2\sqrt5}$.이다. 만일 황금 삼각형이 격자다각형이라면 $\displaystyle a^2$은 정수이다. 한편, $\displaystyle q=\sqrt{5+2\sqrt5}$가 유리수라면 $\displaystyle \sqrt5=\frac{q^2-5}2$도 유리수이므로 모순이다. 따라서 $\displaystyle q$는 무리수이고, 이 도형의 넓이 또한 무리수이다. 한편 픽의 정리에 따르면 모든 격자 다각형의 넓이는 유리수이므로 모순이다. 따라서 격자다각형인 황금 삼각형은 존재하지 않는다.

[문제 1-3] 픽의 정리에 의하면 이 도형은 꼭짓점 $\displaystyle A,B,C,D$와 $\displaystyle O$를 제외하고는 어떤 격자점도 도형의 내부나 변에 포함하지 않는다. 따라서 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$, $\displaystyle B$와 $\displaystyle C$, $\displaystyle C$와 $\displaystyle D$, $\displaystyle D$와 $\displaystyle A$는 모두 좋은 짝꿍이다.

$\displaystyle A,B,C,D$의 네 점을 차례대로 $\displaystyle (x_1,y_1),\ldots,(x_4,y_4)$라 두자. 한편 원점 $\displaystyle O$를 내부에 포함하므로 $\displaystyle x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i$의 값이 $\displaystyle i$와 상관없이 1 또는 -1로 항상 일정함을 알 수 있다. 일반성을 잃지 않고 이 값을 1이라 하자. 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix}x_1&x_2\\y_1&y_2\end{pmatrix}$의 역행렬은 $\displaystyle \frac1{x_1y_2-y_1x_2}\begin{pmatrix}y_2&-x_2\\-y_1&x_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_2&-x_2\\-y_1&x_1\end{pmatrix}$이고 이 행렬 역시 좋은 짝꿍과 연관된 행렬이다. 이 행렬로 나타나는 일차변환 $\displaystyle F$로 네 꼭짓점 $\displaystyle A,B,C,D$를 보내자. 이때 네 점의 좌표는 각각 $\displaystyle (1,0)$, $\displaystyle (0,1)$, $\displaystyle (p,q)$, $\displaystyle (r,s)$라 할 수 있고, 여전히 인접한 두 점의 계산 값이 1이므로 $\displaystyle p=-1,s=-1$이고, $\displaystyle ps-qr=1$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle qr=0$, 즉, $\displaystyle q$와 $\displaystyle r$중의 하나는 0이 되어야 한다. 이는 $\displaystyle F(A),O,F(C)$, 혹은 $\displaystyle F(B),O,F(D)$이 직선상에 있음을 의미한다. 일차변환 $\displaystyle F$에 의해 직선으로 변환되는 도형은 직선이므로 사각형 $\displaystyle ABCD$의 대각선 중의 하나는 $\displaystyle O$를 지난다.